"Hằng số Pythagoras" chuyển hướng đến đây. Đừng nhầm lẫn với Số Pythagoras. Căn bậc hai của 2, hay lũy thừa 1/2 của 2, được viết là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao cho khi nhân với chính nó, cho ta số 2. Đúng hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 2 để phân biệt với số đối của nó có tính chất tương tự.
Một cách hình học, căn bậc hai của 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông với cạnh dài 1 đơn vị; xuất phát từ định lý Pythagoras. Nó có lẽ là số vô tỉ được biết đến đầu tiên.
Một xấp xỉ hữu tỉ cho căn bậc hai của hai với mẫu số nhỏ vừa phải là phân số 99/70 [≈ 1.4142857].
Dãy A002193 trong OEIS gồm các chữ số trong biểu diễn thập phân của căn bậc hai của 2, đến 65 chữ số thập phân:
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...
- Danh sách các số
- Số vô tỉ
- γ
- ζ[3]
- √2
- √3
- √5
- φ
- δS
- e
- π
Bản đất sét Babylon YBC 7289 với ghi chú. Ngoài việc cho thấy căn bậc hai của 2 trong hệ lục thập phân [1 24 51 10], bản đất sét này cũng cho một ví dụ nếu một cạnh của hình vuông là 30 thì đường chéo là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ bằng 0.7071065.
Bảng đất sét Babylon YBC 7289 [khoảng 1800–1600 TCN] cho một xấp xỉ của √2 trong bốn chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, đúng đến khoảng sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân tốt nhất của √2 dùng 4 chữ số:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 305470 216000 = 1.41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}Một xấp xỉ sơ khai khác xuất hiện trong văn kiện toán học của Ấn Độ cổ đại, quyển Sulbasutras [khoảng 800–200 BC] như sau: Tăng độ dài [của cạnh] bằng một phần ba chính nó và một phần tư của một phần ba và giảm đi một phần ba mươi tư của một phần tư đó.[2] Tức là,
1 + 1 3 + 1 3 × 4 − 1 3 × 4 × 34 = 577 408 = 1.41421 56862745098039 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}Các môn đồ của Pythagoras phát hiện rằng đường chéo của hình vuông và cạnh của nó là không thể so được, hay theo ngôn ngữ hiện đại, căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ. Không nhiều điều được biết rõ về thời gian hay tình cảnh của khám phá này, nhưng cái tên thường được nhắc đến là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ Pythagoras xem tính vô tỉ của căn bậc hai của 2 là một bí mật, và theo lời kể, Hippasus đã bị giết vì tiết lộ nó.[3][4][5] Căn bậc hai của 2 đôi khi còn được gọi là số Pythagoras hay hằng số Pythagoras, như trong Conway & Guy [1996].[6]
Xem thêm thông tin: Phương pháp tính căn bậc hai
Có một số thuật toán để xấp xỉ √2, thường là dưới dạng tỉ số của hai số nguyên hoặc một số thập phân. Thuật toán phổ biến nhất cho việc này, được dùng làm cơ sở trong nhiều máy tính và máy tính bỏ túi, là phương pháp Babylon[7], một trong những phương pháp tính căn bậc hai. Thuật toán này như sau:
Đầu tiên, đoán một số a0 > 0 bất kì. Sau đó, dùng số vừa đoán, tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:
a n + 1 = a n + 2 a n 2 = a n 2 + 1 a n . {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}Càng nhiều lần thực hiện phép tính trên [tức là càng nhiều lần lặp lại và số "n" càng lớn], cho ta xấp xỉ càng tốt của căn bậc hai của 2. Mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số đúng. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp theo là
- 3/2 = 1.5
- 17/12 = 1.416...
- 577/408 = 1.414215...
- 665857/470832 = 1.4142135623746...
Giá trị của √2 được tính đến 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi đội của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng 2 năm 2006, kỉ lục cho việc tính √2 bị phá vỡ sử dụng một chiếc máy tính cá nhân. Shigeru Kondo tính 1 nghìn tỷ chữ số thập phân của căn bậc hai của 2 trong năm 2010.[8] Trong số các hằng số toán học với biểu diễn thập phân cần nhiều tài nguyên tính toán, chỉ có π là được tính chính xác hơn.[9] Những tính toán như vậy chủ yếu là để kiểm tra bằng thực nghiệm xem những số đó có phải là bình thường hay không.
Xấp xỉ hữu tỉ
Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản 99/70 [≈ 1.4142857] thường được sử dụng. Mặc dù có mẫu số chỉ là 70, độ sai lệch của nó với giá trị đúng là ít hơn 1/10,000 [khoảng +072×10−4]. Do nó là một giản phân của biểu diễn liên phân số của căn bậc hai của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào gần hơn phải có mẫu số không bé hơn 169, do 239/169 [≈ 1.4142012] là giản phân tiếp theo với sai số khoảng −012×10−4.
Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, từ bước thứ bốn trong phương pháp Babylon ở trên bắt đầu với a0 = 1, có sai số khoảng 16×10−12: bình phương của nó là 20000000000045…
Kỉ lục
Đây là bảng những kỉ lục gần đâu trong việc tính các chữ số của √2 [1 nghìn tỉ = 1012 = 1.000.000.000.000].
| 28 tháng 6 năm 2016 | Ron Watkins | 10 nghìn tỷ |
| 3 tháng 4 năm 2016 | Ron Watkins | 5 nghìn tỷ |
| 9 tháng 2 năm 2012 | Alexander Yee | 2 nghìn tỷ |
| 22 tháng 3 năm 2010 | Shigeru Kondo | 1 nghìn tỷ |
Một chứng minh ngắn về tính vô tỉ của √2 sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu P[x] là một đa thức monic với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của P[x] cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức P[x] = x2 − 2, ta suy ra √2 hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì 1 1 ta định nghĩa x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì giới hạn của xn khi n → ∞ [nếu tồn tại] gọi là f[c]. Khi ấy √2 là số c > 1 duy nhất thỏa f[c] = c2. Hay nói cách khác:
2 [ 2 [ 2 [ ⋅ ⋅ ⋅ ] ] ] = 2. {\displaystyle {\sqrt {2}}^{[{\sqrt {2}}^{[{\sqrt {2}}^{[\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }]]]}}}}=2.}√2 cũng xuất hiện trong công thức Viète cho π:
với m dấu căn và đúng một dấu trừ.[17]
Ngoài ra, √2 còn xuất hiện trong nhiều hằng số lượng giác:[18]
sin π 32 = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 sin 3 π 16 = 1 2 2 − 2 − 2 sin 11 π 32 = 1 2 2 + 2 − 2 − 2 sin π 16 = 1 2 2 − 2 + 2 sin 7 π 32 = 1 2 2 − 2 − 2 + 2 sin 3 π 8 = 1 2 2 + 2 sin 3 π 32 = 1 2 2 − 2 + 2 − 2 sin π 4 = 1 2 2 sin 13 π 32 = 1 2 2 + 2 + 2 − 2 sin π 8 = 1 2 2 − 2 sin 9 π 32 = 1 2 2 + 2 − 2 + 2 sin 7 π 16 = 1 2 2 + 2 + 2 sin 5 π 32 = 1 2 2 − 2 − 2 − 2 sin 5 π 16 = 1 2 2 + 2 − 2 sin 15 π 32 = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}Hiện vẫn chưa biết liệu √2 có phải là số chuẩn, một tính chất mạnh hơn tính vô tỉ, nhưng phân tích thống kê biểu diễn của nó trong hệ nhị phân cho thấy có khả năng nó chuẩn trong hệ cơ số hai.[19]
Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng với các biểu diễn tích vô hạn của sin và cosin cho ta
1 2 = ∏ k = 0 ∞ [ 1 − 1 [ 4 k + 2 ] 2 ] = [ 1 − 1 4 ] [ 1 − 1 36 ] [ 1 − 1 100 ] ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left[1-{\frac {1}{[4k+2]^{2}}}\right]=\left[1-{\frac {1}{4}}\right]\left[1-{\frac {1}{36}}\right]\left[1-{\frac {1}{100}}\right]\cdots }và
2 = ∏ k = 0 ∞ [ 4 k + 2 ] 2 [ 4 k + 1 ] [ 4 k + 3 ] = [ 2 ⋅ 2 1 ⋅ 3 ] [ 6 ⋅ 6 5 ⋅ 7 ] [ 10 ⋅ 10 9 ⋅ 11 ] [ 14 ⋅ 14 13 ⋅ 15 ] ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {[4k+2]^{2}}{[4k+1][4k+3]}}=\left[{\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right]\left[{\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right]\left[{\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right]\left[{\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right]\cdots }hoặc tương đương,
2 = ∏ k = 0 ∞ [ 1 + 1 4 k + 1 ] [ 1 − 1 4 k + 3 ] = [ 1 + 1 1 ] [ 1 − 1 3 ] [ 1 + 1 5 ] [ 1 − 1 7 ] ⋯ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left[1+{\frac {1}{4k+1}}\right]\left[1-{\frac {1}{4k+3}}\right]=\left[1+{\frac {1}{1}}\right]\left[1-{\frac {1}{3}}\right]\left[1+{\frac {1}{5}}\right]\left[1-{\frac {1}{7}}\right]\cdots .}Ngoài ra ta có thể dùng chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor cho cos π/4 cho ta
1 2 = ∑ k = 0 ∞ [ − 1 ] k [ π 4 ] 2 k [ 2 k ] ! . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {[-1]^{k}\left[{\frac {\pi }{4}}\right]^{2k}}{[2k]!}}.}Chuỗi Taylor cho √1 + x với x = 1 cùng với giai thừa kép n!! cho ta
2 = ∑ k = 0 ∞ [ − 1 ] k + 1 [ 2 k − 3 ] ! ! [ 2 k ] ! ! = 1 + 1 2 − 1 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 + ⋯ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }[-1]^{k+1}{\frac {[2k-3]!!}{[2k]!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .}Sử dụng biến đổi Euler để đẩy nhanh tốc độ hội tụ của dãy, ta được
2 = ∑ k = 0 ∞ [ 2 k + 1 ] ! 2 3 k + 1 [ k ! ] 2 = 1 2 + 3 8 + 15 64 + 35 256 + 315 4096 + 693 16384 + ⋯ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {[2k+1]!}{2^{3k+1}[k!]^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}Một công thức dạng BBP cho √2 vẫn chưa được tìm ra, tuy nhiên đã có những công thức dạng BBP cho π√2 và √2ln[1+√2].[20]
√2 có thể biểu diễn bằng phân số Ai Cập, với mẫu số bằng các số hạng thứ 2n của một dãy hồi quy tuyến tính giống dãy Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]
2 = 3 2 − 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 a 2 n = 3 2 − 1 2 [ 1 6 + 1 204 + 1 235416 + … ] {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a_{2^{n}}}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right]}Xấp xỉ căn bậc hai của 2 bằng dãy giản phân.
Căn bậc hai của 2 có biểu diễn bằng liên phân số sau:
2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ . {\displaystyle \!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.}Những giản phân đầu tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cách √2 một khoảng gần bằng 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp theo là p + 2q/p + q.
Biểu thức sau đây hội tụ về √2:
2 = 3 2 − 2 [ 1 4 − [ 1 4 − [ 1 4 − [ 1 4 − ⋯ ] 2 ] 2 ] 2 ] 2 = 3 2 − 4 [ 1 8 + [ 1 8 + [ 1 8 + [ 1 8 + ⋯ ] 2 ] 2 ] 2 ] 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left[{\tfrac {1}{4}}-\left[{\tfrac {1}{4}}-\left[{\tfrac {1}{4}}-\left[{\tfrac {1}{4}}-\cdots \right]^{2}\right]^{2}\right]^{2}\right]^{2}\\&={\tfrac {3}{2}}-4\left[{\tfrac {1}{8}}+\left[{\tfrac {1}{8}}+\left[{\tfrac {1}{8}}+\left[{\tfrac {1}{8}}+\cdots \right]^{2}\right]^{2}\right]^{2}\right]^{2}.\end{aligned}}}Nghịch đảo của căn bậc hai của 2 [căn bậc hai của 1/2] là một hằng số thường dùng.
1 2 = 2 2 = sin 45 ∘ = cos 45 ∘ = 0.70710 67811 86547 52440 08443 62104 84903 928... {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=0.70710\,67811\,86547\,52440\,08443\,62104\,84903\,928...} [dãy số A010503 trong bảng OEIS]Năm 1786, giáo sư vật lý người Đức Georg Lichtenberg[22] phát hiện rằng bất kỳ tờ giấy nào có cạnh dài dài gấp √2 lần cạnh ngắn có thể được gấp đôi để tạo thành một tờ giấy mới có tỉ lệ giống hệt tờ ban đầu. Tỉ lệ giấy này bảo đảm rằng cắt giấy thành hai nửa cho ra các tờ giấy nhỏ hơn cùng tỉ lệ. Khi Đức chuẩn hóa khổ giấy vào đầu thế kỷ 20, họ dùng tỉ lệ của Lichtenberg để tạo thành giấy khổ "A".[22] Hiện nay, tỉ lệ khung hình [xấp xỉ] của khổ giấy theo tiêu chuẩn ISO 216 [A4, A0, vân vân] là 1:√2.
Chứng minh:
Gọi
S
=
{\displaystyle S=}
cạnh ngắn và
L
=
{\displaystyle L=}
cạnh dài của tờ giấy, với
Gọi
R
′
=
L
′
S
′
{\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}
là tỉ số của một nửa tờ giấy thì
- Căn bậc hai của 3
- Căn bậc hai của 5
- Tỷ lệ bạc, 1 + √2
- Căn bậc hai của 2 hình thành trong quan hệ giữa các f-stop của thấu kính máy ảnh, dẫn đến tỉ lệ diện tích giữa hai khẩu độ liên tiếp là 2.
- Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
- Công thức Viète cho pi
- ^ Fowler và Robson, trang 368.
Photograph, illustration, and description of the root[2] tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 tại Wayback Machine
High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root[2] tablet [YBC 7289] from the Yale Babylonian Collection - ^ Henderson.
- ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 tại Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học Georgia.
- ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 tại Wayback Machine, Nrich.org, tháng 11 2004.
- ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
- ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. [1996], The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
- ^ Mặc dù ngày nay cụm từ "phương pháp Babylon" được dùng khá phổ biến, không có bằng chứng trực tiếp nào cho thấy cách người Babylon tính xấp xỉ √2 trên bản đất sét YBC 7289. Fowler và Robson đề xuất một số giả thiết.
Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158. - ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 tháng 8 năm 2010. Bản gốc lưu trữ ngày 1 tháng 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 tháng 9 năm 2012.
- ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 tháng 8 năm 2010. Bản gốc lưu trữ ngày 1 tháng 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 tháng 9 năm 2012.
- ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc lưu trữ ngày 20 tháng 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 tháng 10 năm 2019.
- ^ Trong khi viết về chứng mihn bằng phản chứng, Aristotle nói: "đường chéo của hình vuông là không thể so được với cạnh của nó, bởi vì số lẻ sẽ bằng số chẵn nếu chúng so được với nhau".
- ^ Phiên bản tiếng Hy Lạp của bộ Cơ sở xuất bản bởi E. F. August tại Berlin trong 1826–1829 đưa chứng minh này vào phần Phụ lục. Điều tương tự xảy ra với phiên bản của sử gia J. L. Heiberg [1883–1888].
- ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 tại Wayback Machine
- ^ Yanofsky, N. [2016]. “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc lưu trữ ngày 30 tháng 6 năm 2016.
- ^ Tom M. Apostol [tháng 11 năm 2000], “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 [9]: 841–842, doi:10.2307/2695741
- ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. [2011], “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 [2]: 223–302 [Mục 2.3, ghi chú 15], arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
- ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert [1941], What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
- ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 tại Wayback Machine
- ^ Good & Gover [1967].
- ^ “Archived copy” [PDF]. Bản gốc [PDF] lưu trữ ngày 10 tháng 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng 4 năm 2010.Quản lý CS1: bản lưu trữ là tiêu đề [liên kết]
- ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến. Tổ chức OEIS.
- ^ a b Houston, Keith [2016]. The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.
- Apostol, Tom M. [2000], “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 [9]: 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
- Aristotle [2007], Analytica priora, eBooks@Adelaide
- Bishop, Errett [1985], Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research [San Diego, Calif., 1983], 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
- Flannery, David [2005], The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
- Fowler, David; Robson, Eleanor [1998], “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” [PDF], Historia Mathematica, 25 [4]: 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc [PDF] lưu trữ ngày 3 tháng 9 năm 2006.
- Good, I. J.; Gover, T. N. [1967], “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 [1]: 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
- Henderson, David W. [2000], “Square roots in the Śulba Sūtras”, trong Gorini, Catherine A. [biên tập], Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.
- Gourdon, X.; Sebah, P. [2001], “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
- Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" từ MathWorld.
- Căn bậc hai của Hai đến 5 triệu chữ số bởi Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
- Căn bậc hai của 2 là vô tỉ, một tuyển tập các chứng minh
- Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 tháng 12 năm 2019.
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Căn_bậc_hai_của_2&oldid=68155920”