Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức Cosi Show
Bất đẳng thức Cosi được sử dụng rất nhiều trong các đề thi cao đẳng và đại học. Do đó, các bạn cần nắm vững công thức bất đẳng thức cosi, cách chứng minh bất đẳng thức cosi. Ngoài ra, các bạn cần phải giải được các bài tập liên quan đến bất đẳng thức cosi. Bài viết hôm nay sẽ giúp mọi người cũng cố kiến thức về bất đẳng thức này. 1. Bất đẳng thức CosiBất đẳng thức cosi xuất phát từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). Cauchy là người đã có công chứng minh bất đẳng thức AM – GM bẳng phương pháp quy nạp. Do đó, bất đẳng thức AM – GM được phát biểu theo cách khác để trở thành bất đẳng thức cosi. 1.1 Bất đẳng thức AM – GMCho x1, x2,…, xn là n số thực không âm, khi đó ta có: \[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng \[ {x_1+ x_2 + …, + x_n} \ge n \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \] Hoặc \[ (\frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n})^n \ge {x_1x_2…x_n} \] 1.2. Bất đẳng thức CosiGiả sử a1 ,a2,…, an là các số thực bất kì và b1, b2,…, bn là các số thực dương. Khi đó, ta luôn có: \[\frac{a_1^2}{b_1^2} + \frac{a_2^2}{b_2^2} + … + \frac{a_n^2}{b_n^2} \ge \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[\frac{a_1^2}{b_1^2} = \frac{a_2^2}{b_2^2} = … = \frac{a_n^2}{b_n^2}\] 1.2.1. Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm\[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \] Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 1.2.2. Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm\[ \frac{a + b + c } {3} \ge \sqrt [3] {abc} \] Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 1.2.3. Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm\[ \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \] Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d 1.2.4 Bất đẳng thức cosi cho n số không âmVới x1, x2,…, xn là n số thực không âm, khi đó ta có: \[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn 2. Chứng minh bất đẳng thức cosi2.1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng với 2 thực số không âmRõ ràng với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng (1). Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với 2 số a, b dương. \[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \] \[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \] \[ \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b \ge 0\] \[ (\sqrt {a} – \sqrt {b})^2 \ge 0\] (luôn đúng với mọi a, b ≥ 0) => Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi a, b dương (2) Từ (1) và (2) => bất đẳng thức cosi đúng với 2 số thực a, b không âm. 2.2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số không âmRõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Do đó, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 3 số thực a, b, c dương. Đặt \[ x = \sqrt [3] {a}, y = \sqrt [3] {b}, z = \sqrt [3] {c} \] => x, y, z ≥ 0 => => x + y + z ≥ 0 Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về thành bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương. \[ (x + y)^3 – 3xy(x + y) + z^3 – 3xyz \ge 0 \] \[ (x + y +z)[(x + y)^2 – (x +y)z + z^2]\] \[ – 3xy(x + y + z) \ge 0 \] \[ (x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 +2xy – xz – yz) \] \[ – 3xy(x + y + z) \ge 0 \] \[ (x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – xz – yz) \ge 0 \] \[ (x + y +z)[(x – y)^2 + (y – z)^2 + (x – z)^2] \ge 0 \] (luôn đúng với mọi x, y, z ≥ 0) Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay a = b = c. 2.3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực không âmTa dễ dàng nhận ra rằng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Bây giờ chúng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 4 số thực dương. Từ kết quả chứng minh bất đẳng thức đúng với 2 số thực không âm ta có: \[ a + b + c + d \ge 2\sqrt [2] {ab} + 2\sqrt [2] {cd} \ge 4\sqrt [4] {abcd} \] \[ \Leftrightarrow \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \] (đpcm) Ta còn rút ra được hệ quả: Với \[ d = \frac{a + b + c} {3}\] Thì bất đẳng thức trở về dạng bất đẳng thức cosi với 3 số thực dương. 2.4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âmTheo chứng minh ở trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng. Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Chứng minh điều này như sau: \[ x_1+ x_2 + …, + x_n \] \[ \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n} + n\sqrt [n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \] \[ \ge 2n\sqrt [2n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \] Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2. Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n-1 số như sau: Theo bất đẳng thức cosi cho n số: \[ x_1+ x_2 + …, + x_n \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n}\] \[ x_n = \frac {s}{n – 1}, s =x_1 + x_2 + …, + x_n \] => \[ s \ge (n – 1) \sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}} \] Đây chính là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy ta có dpcm. 3. Bài tập cơ bản về bất đẳng thức cosiBài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng: \[ \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} \le \sqrt{3} \] Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: (a2 + b + c)(1 + b + c) ≥ (a + b + c)2 . Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng: \[ \frac {a \sqrt {1 + b + c} + b \sqrt {1 + c + a} + c \sqrt {1 + a + b}}{a + b + c} \le \sqrt{3}\] Áp dụng bất đẳng thức Cosi lần thứ hai ta thu được: VT = \[ \frac { \sqrt{a}\sqrt{a(1 + b + c)} + \sqrt{b}\sqrt{b(1 + c + a)} + \sqrt{c}\sqrt{c(1 + a + b)}}{a + b + c}\] \[ \le \frac { \sqrt{{(a + b + c)}[a(1 + b + c) + b(1 + c + a) + c(1 + a + b)] }} {a + b + c}\] = \[ \sqrt{1 + \frac {2(ab + bc +ca)}{a + b + c}}\] \[ \le \sqrt{1 + \frac {2(a + b +c)}{3}}\] \[ \le \sqrt{1 + \frac {2 \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}}{3}} = \sqrt{3}\] (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 4. Bài tập nâng cao về bất đẳng thức cosi
Ngay từ bậc Tiểu học, chúng ta đã được làm quen với trung bình cộng và trung bình nhân rồi phải không nào? Và khi càng học cao hơn, chúng ta sẽ nhận thấy các bất đẳng thức còn được sử dụng với nhiều dạng khác nhau. Trong đó được sử dụng nhiều nhất có lẽ chính là bất đằng thức Cosi. Vậy bất đẳng thức Cosi được định nghĩa như thế nào? Làm thế nào để chứng minh được bất đẳng thức Cosi? Có những kỹ thuật nào sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh các bất đẳng thức khác hay không?… Mọi thắc mắc của các bạn liên quan đến bất đẳng thức Cosi sẽ được chúng tôi giải đáp ngay trong bài viết dưới đây. Hãy cùng theo dõi nhé! Khái niệm bất đẳng thức CosiTrong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. Với n số thực không âm Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âmDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âmDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âmDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d Chứng minh bất đẳng thức Cosi1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âmTa thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi.
2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âmVới a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì bất đẳng thức luon đúng. Vì thế, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số dương mà thôi. Đặt: Suy ra: Suy ra: Bất đẳng thức được quy về: Dấu “=” xảy ra khi x = y = z tương đương a = b = c. 3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âmVới a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 4 số dương mà thôi. Thay:
4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âmChứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương n=2 thì bất đẳng thức đúng. Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Ta có thể chứng minh đơn giản vì: Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2. Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau: Theo bất đẳng thức cosi cho n số: Chọn: Đây chính là bất đẳng thức cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm. Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức cosi
Ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức khácCác bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây nhé. Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a, b. Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có: Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1. Ví dụ 2: Cho a, b > 0. Chứng minh: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có: Đẳng thức xảy ra <=> a = b. Như vậy, trên đây là những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Cosi mà itqnu.vn đã chia sẻ với các bạn. Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ phần nào giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập của mình nhé. Chúc các bạn thành công! |