Phương sai và độ lệch chuẩn là những kiến thức toán học đại số khá quan trọng và thú vị, được ứng dụng nhiều trong công việc thống kê các con số. Vậy Phương sai và độ lệch chuẩn là gì? Tính toán phương sai và độ lệch chuẩn như thế nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu và tổng hợp kiến thức nhé!
Phương sai là gì? Cách tính phương sai
Phương sai là gì?
Phương sai của một bảng số liệu là số đặc trưng cho độ phân tán của các số liệu trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Bộ số liệu có giá trị phương sai nhỏ là bộ số liệu có các giá trị gần với giá trị trung bình.
Cách tính phương sai
Phương sai của bảng thống kê dấu hiệu x, kí hiệu là \[s_{{x}^{2}}\]. Công thức tính phương sai như sau:
- Đối với bảng phân bố rời rạc
\[n_{1}+n_{2}+…+n_{n}=n\]
\[S_{x}^{2}=\frac{1}{n}[n_{1}[x_{1}-\bar{x}]^{2}+n_{2}[[x_{2}-\bar{x}]^{2}+…+n_{k}[[x_{k}-\bar{x}]^{2}]\]
=\[\frac{1}{n}[n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+…+n_{k}x_{1}^{2}]-[\bar{x}]^{2}\]
Với \[\bar{x}\] là số trung bình của bảng số liệu.
n là số các số liệu thống kê
- Đối với phân bố tần số ghép lớp
\[S_{x}^{2}=\frac{1}{n}[n_{1}[C_{1}-\bar{x}]^{2}+n_{2}[[C_{2}-\bar{x}]^{2}+…+n_{k}[[C_{k}-\bar{x}]^{2}]\]
Với \[C_{i}[i=1,2,…,k]\] là giá trị trung tâm của lớp thứ i
\[\bar{x}\] là số trung bình của bảng số liệu.
Nhận xét:
Có thể viết gọn các công thức về phương sai nhờ ký hiệu \[\sum\] như dưới đây:
\[S_{x}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}[x_{i}-\bar{x}]^{2}=\sum_{i=1}^{n}f_{i}[x_{i}-\bar{x}]^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}^{2}-[\bar{x}]^{2}=\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}-[\bar{x}]^{2}\]
Độ lệch chuẩn là gì? Các bước tính độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn hay độ lệch tiêu chuẩn [Standard Deviation]
Là giá trị chênh lệch trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình đã tính ra .
Căn bậc hai của phương sai một bảng số liệu được gọi là độ lệch chuẩn của bảng số liệu đó.
Độ lệch chuẩn của dấu hiệu x, ký hiệu: \[S_{x}\]
- Nếu độ lệch chuẩn bằng 0, suy ra phương sai bằng 0, suy ra các giá trị quan sát cũng chính là giá trị trung bình. Nói cách khác là không có sự biến thiên.
- Nếu độ lệch chuẩn càng lớn, suy ra sự biến thiên xung quanh giá trị trung bình càng lớn.
Phương sai cùng độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê [so với giá trị trung bình]. Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo, ta dùng độ lệch chuẩn vì độ lệch chuẩn cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.
Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn
Công thức tính:
\[S_{x}=\sqrt{S_{x}^{2}}\]
Để tính độ lệch chuẩn ta cần xác định giá trị sau:
– Giá trị trung bình
– Phương sai của tập số liệu.
Suy ra
Các bước tính độ lệch chuẩn:
Bước 1: Tính giá trị trung bình của bộ số liệu:
Giá trị trung bình bằng trung bình cộng các giá trị của tất cả bộ số liệu hay chính bằng tổng các giá trị trong bộ số liệu chia cho tổng số các giá trị có trong bộ số liệu.
Bước 2: Tính phương sai của bộ số liệu:
Phương sai là giá trị đặc trưng cho độ phân tán [biến thiên] của các số liệu trong bộ số liệu so với giá trị trung bình của bộ số liệu.
Công thức tính phương sai
\[S^{2}=\frac{\sum_{i}^{n}[X_{i}-\bar{X}]^{2}}{n-1}\]
Trong đó:
n là số phần tử của tập số liệu
\[\bar{X}\] là giá trị trung bình của bộ số liệu
\[x_{i}\] là các giá trị của bộ số liệu.
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
Sử dụng công thức Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của giá trị phương sai để tính được ở bước 2
Tính phương sai và độ lệch chuẩn bằng máy tính
Để giải quyết các bài toán về phương sai cũng như độ lệch chuẩn một cách dễ dàng và hiệu quả hơn, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính toán:
Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn có ứng dụng khá hay đó là giúp chuẩn hóa giá trị của hai dãy số khác nhau về cùng một miền dữ liệu.
Ngoài ra, phương sai cùng độ lệch chuẩn còn được áp dụng nhiều trong giải quyết các công việc thực tế như: phương sai cùng độ lệch chuẩn trong xác suất thống kê, phương sai hay độ lệch chuẩn trong thống kê, phương sai cùng độ lệch chuẩn trong tài chính…
Trên đây là tổng hợp kiến thức về chuyên đề phương sai với độ lệch chuẩn, hy vọng hữu ích với bạn trong quá trình tìm tòi và học tập của bản thân. Nếu có bất cứ thắc mắc hay đóng góp gì cho bài viết phương sai và độ lệch chuẩn, mời bạn để lại ở nhận xét bên dưới. Chúc bạn luôn học tập tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:
[Nguồn: www.youtube.com]
Xem thêm:
Please follow and like us:
Cả phương sai và độ lệch chuẩn là thuật ngữ được sử dụng phổ biến nhất trong lý thuyết xác suất và thống kê để mô tả rõ hơn các biện pháp lan truyền xung quanh một tập dữ liệu. Cả hai đều đưa ra các số đo về mức độ lan truyền của một tập dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Giá trị trung bình chỉ đơn giản là trung bình số học của một phạm vi các giá trị trong tập dữ liệu trong khi phương sai đo khoảng cách các số được phân tán xung quanh giá trị trung bình có nghĩa là trung bình của độ lệch bình phương so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn là thước đo để tính mức độ phân tán của các giá trị của một tập dữ liệu đã cho. Nó chỉ đơn giản là căn bậc hai của phương sai. Trong khi nhiều người đối lập hai khái niệm toán học, chúng tôi xin trình bày một so sánh không thiên vị giữa phương sai và độ lệch chuẩn để hiểu rõ hơn các thuật ngữ.
Phương sai là gì?
Phương sai được định nghĩa đơn giản là thước đo độ biến thiên của các giá trị xung quanh giá trị trung bình số học của chúng. Nói một cách đơn giản, phương sai là độ lệch bình phương trung bình trong khi giá trị trung bình là trung bình của tất cả các giá trị trong một tập dữ liệu nhất định. Ký hiệu cho phương sai của một biến làσ2Bình [sigma chữ thường] hoặc sigma bình phương. Nó được tính bằng cách trừ giá trị trung bình từ mỗi giá trị trong tập dữ liệu đã cho và bình phương các khác biệt của chúng với nhau để thu được giá trị dương và cuối cùng chia tổng bình phương của chúng cho số giá trị.
Nếu M = mean, x = mỗi giá trị trong tập dữ liệu và n = số giá trị trong tập dữ liệu, thì
σ2 = ∑ [x - M]2/ n
Độ lệch chuẩn là gì?
Độ lệch chuẩn được định nghĩa đơn giản là thước đo độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu đã cho từ giá trị trung bình của chúng. Nó đo lường sự lan truyền dữ liệu xung quanh giá trị trung bình được tính là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn được biểu tượng bằng chữ Hy Lạp sigmaσCung như trong sigma trường hợp thấp hơn. Độ lệch chuẩn được biểu thị trong cùng một đơn vị với giá trị trung bình không nhất thiết là trường hợp có phương sai. Nó chủ yếu được sử dụng như một công cụ trong chiến lược đầu tư và giao dịch.
Nếu M = mean, x = a giá trị trong tập dữ liệu và n = số giá trị thì,
σ = √∑ [x - M]2/ n
Sự khác biệt giữa phương sai và độ lệch chuẩn
Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn
Phương sai đơn giản có nghĩa là khoảng cách các con số được lan truyền trong một tập dữ liệu nhất định từ giá trị trung bình của chúng. Trong thống kê, phương sai là thước đo độ biến thiên của các số xung quanh giá trị trung bình số học của chúng. Đó là một giá trị số định lượng mức độ trung bình mà các giá trị của một tập hợp dữ liệu khác với giá trị trung bình của chúng. Mặt khác, độ lệch chuẩn là thước đo độ phân tán của các giá trị của tập dữ liệu từ giá trị trung bình của chúng. Đây là một thuật ngữ phổ biến trong lý thuyết thống kê để tính xu hướng trung tâm.
Đo lường
Phương sai đơn giản là đo lường sự phân tán của một tập dữ liệu. Theo thuật ngữ kỹ thuật, biến thể là sự khác biệt bình phương trung bình của các giá trị trong một tập dữ liệu từ giá trị trung bình. Nó được tính bằng cách trước tiên lấy chênh lệch giữa mỗi giá trị trong tập hợp và giá trị trung bình và bình phương các khác biệt để làm cho các giá trị dương và cuối cùng tính trung bình của các bình phương để đưa ra phương sai. Độ lệch chuẩn chỉ đơn giản là đo lường sự lan truyền của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình và được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai. Giá trị của độ lệch chuẩn luôn là giá trị không âm.
Phép tính
Cả phương sai và độ lệch chuẩn được tính xung quanh giá trị trung bình. Phương sai được ký hiệu là bởiS2Nghiêng và độ lệch chuẩn - căn bậc hai của phương sai được ký hiệu làSMùi. Ví dụ: đối với tập dữ liệu 5, 7, 3 và 7, tổng số sẽ là 22, sẽ được chia thêm cho số điểm dữ liệu [4, trong trường hợp này], dẫn đến trung bình [M] là 5,5 . Ở đây, M = 5,5 và số điểm dữ liệu [n] = 4.
Phương sai được tính như sau:
S2 = [5 - 5,5]2 + [7 - 5,5]2 + [3 - 5,5]2 + [7 - 5,5]2 / 4
= 0,25 + 2,25 + 6,25 + 2,25 / 4
= 11/4 = 2,75
Độ lệch chuẩn được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai.
S = .752,75 = 1,658
Các ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn
Phương sai kết hợp tất cả các giá trị trong một tập hợp dữ liệu để định lượng mức độ lây lan. Vì vậy, mức chênh lệch càng lớn, biến thể càng dẫn đến khoảng cách lớn hơn giữa các giá trị trong tập dữ liệu. Phương sai chủ yếu được sử dụng để phân phối xác suất thống kê để đo lường mức độ biến động từ giá trị trung bình và biến động là một trong những biện pháp phân tích rủi ro có thể giúp nhà đầu tư xác định rủi ro trong danh mục đầu tư. Nó cũng là một trong những khía cạnh quan trọng của phân bổ tài sản. Mặt khác, độ lệch chuẩn có thể được sử dụng trong một loạt các ứng dụng như trong lĩnh vực tài chính như một thước đo biến động thị trường và an ninh.
Phương sai so với độ lệch chuẩn: Biểu đồ so sánh
Tóm tắt phương sai và độ lệch chuẩn
Cả phương sai và độ lệch chuẩn là các khái niệm toán học phổ biến nhất được sử dụng trong thống kê và lý thuyết xác suất như là các biện pháp lây lan. Phương sai là thước đo khoảng cách các giá trị được lan truyền trong một tập dữ liệu nhất định từ giá trị trung bình số học của chúng, trong khi độ lệch chuẩn là thước đo độ phân tán của các giá trị so với giá trị trung bình. Phương sai được tính là độ lệch bình phương trung bình của mỗi giá trị so với giá trị trung bình trong tập dữ liệu, trong khi độ lệch chuẩn chỉ đơn giản là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn được đo bằng cùng đơn vị với giá trị trung bình, trong khi phương sai được đo bằng đơn vị bình phương của giá trị trung bình. Cả hai đều được sử dụng cho mục đích khác nhau. Phương sai giống như một thuật ngữ toán học trong khi độ lệch chuẩn chủ yếu được sử dụng để mô tả sự biến đổi của dữ liệu.