Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :. Bài 77 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng
Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :
\[\eqalign{ & a]\;\;d:{{x – 2} \over 2} = {{y – 3} \over 3} = {{z + 4} \over { – 5}},\cr&\;\;\;\;\;d’:{{x + 1} \over 3} = {{y – 4} \over { – 2}} = {{z – 4} \over { – 1}}; \cr & b]\;\;d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 – t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr} \right.d’:\left\{ \matrix{ x = 2 – 2t’. \hfill \cr y = 3 \hfill \cr z = t’. \hfill \cr} \right. \cr} \]
a] Cách 1: Ta có \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {2;3; – 5} \right],\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left[ {3; – 2; – 1} \right].\]
Khi đó vì \[\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left[ { – 13; – 13; – 13} \right]\] nên đường vuông góc chung \[\Delta \] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right].\]
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng chứa d và \[\Delta \] thì \[\left[ \alpha \right]\] đi qua \[{M_o}[2;3; – 4]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left[ {8, – 7, – 1} \right].\]
Có phương trình của mp\[\left[ \alpha \right]\] là: \[8\left[ {x – 2} \right] – 7\left[ {y – 3} \right] – 1\left[ {z + 4} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 8x – 7y – z + 1 = 0.\]
Gọi \[\left[ \beta \right]\] là mặt phẳng chứa \[d’\] và \[\Delta \] thì \[\left[ \beta \right]\] đi qua điểm \[M_o’\left[ { – 1;4;4} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left[ {1;4; – 5} \right].\]
Phương trình của mp\[\left[ \beta \right]\] là :\[1\left[ {x + 1} \right] + 4\left[ {y – 4} \right] – 5\left[ {z – 4} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow x + 4y – 5z + 5 = 0.\]
Vậy đường vuông góc chung \[\Delta \] của \[d\] và \[d’\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ \beta \right]\] . Nó có phương trình tham số là:
Quảng cáo\[\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\]
Cách 2: Điểm \[M \in d\] có toa độ là \[M = \left[ {2 + 2t;3 + 3t; – 4 – 5t} \right].\]
Điểm \[N \in d’\] có toa độ là \[N = \left[ { – 1 + 3t’;4 – 2t’;4 – t’} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left[ { – 3 + 3t’ – 2t;1 – 2t’ – 3t;8 – t’ + 5t} \right].\]
MN là đường vuông góc chung của \[d\] và \[d’\] khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d’}}} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Suy ra \[M = \left[ {0;0;1} \right],N = \left[ {2;2;3} \right] \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left[ {2;2;2} \right].\]
Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung \[\Delta \] là
\[{x \over 1} = {y \over 1} = {{z – 1} \over 1}.\]
b] \[{{x – 2} \over 1} = {{y – 3} \over 5} = {z \over 2}.\]
Academia.edu no longer supports Internet Explorer.
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.
Giả sử lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2. Ta thực hiện như sau:
+ Chuyển đường d1 và d2 về dạng tham số t và u
+ Tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}}$và $B\in {{d}_{2}}$theo 2 ẩn t và u.
+ Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $\left\{ \begin{array} {} d\bot {{d}_{1}} \\ {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array} {} t \\ {} u \\ \end{array} \right.$
Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.
Bài tập viết phương trình đường thẳng vuông góc chung trong không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1 : Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết
${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=0 \\ {} z=-5+t \\ \end{array} \right.$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=0 \\ {} y=4-2u \\ {} z=5+3u \\ \end{array} \right.$. |
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=[1;0;1]$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=[0;-2;3]$
Gọi $A[1+t;0;-5+t]\in {{d}_{1}}$và $B[0;4-2u;5+3u]\in {{d}_{2}}$suy ra $\overrightarrow{AB}[-1-t;4-2u;10+3u-t]$
Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $\left\{ \begin{array} {} d\bot {{d}_{1}} \\ {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1-t+10+3u-t=0 \\ {} -8+4u+30+9u-3t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -2t+3u=-9 \\ {} -3t+13t=-22 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=3 \\ {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} A[4;0;-2] \\ {} B[0;6;2] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=[4;-6;-4]$
Phương trình đường thẳng AB là: $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{-2}$.
| Bài tập 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:
A. $\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=1-t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$ B. $d:\left\{ \begin{array} {} x=2+2t \\ {} y=1+t \\ {} z=2-t \\ \end{array} \right.$ C. $d:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=1+t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$ D. $d:\left\{ \begin{array} {} x=2-t \\ {} y=1+t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=[2;-1;1]$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=[1;-1;1]$
Gọi $M[2+2t;1-t;2+t]\in {{d}_{1}};N[u;4-u;1+u]\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=[u-2t-2;3-u-t;-1+u-t]$
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\ {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2[u-2t-2]+u+t-3+u-t-1=0 \\ {} u-2t-2+u+t-3+u-t-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=2 \\ {} t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow M[2;1;2];N[2;2;3]$
Suy ra $\overrightarrow{MN}[0;1;1]\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=1+t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
| Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x+2}{-4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-1}$. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 đi qua điểm nào trong các điểm sau
A. $A[3;1;-4]$ B. $B[1;-1;-4]$ C. $C[2;0;1]$ D. $D[0;-2;-5]$ |
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=[2;1;1]$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=[-4;1;-1]$
Gọi $M[-1+2t;-2+t;1+t]\in {{d}_{1}};N[-2-4u;1+u;-2-u]\in {{d}_{2}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=[-4u-2t-1;u-t+3;-u-t-3]$
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\ {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -8u-4t-2+u-t+3-u-t-3=0 \\ {} 16u+8t+4+u-t+3+u+t+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=-1 \\ {} t=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} M[1;-1;2] \\ {} N[2;0;-1] \\ \end{array} \right.$
Suy ra $\overrightarrow{MN}[1;1;-3]\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=-1+t \\ {} z=2-3t \\ \end{array} \right.\Rightarrow A[3;1;-4]\in MN$. Chọn A.
@ Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng [P] Phương pháp giải
Cách 1:
- Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng $[\alpha ]$chứa d và vuông góc với [P]
Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{[\alpha ]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \right]$
- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng $\Delta =[\alpha ]\cap [P]$
Cách 2: Lấy điểm $A\in d$, tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d, khi đó ∆ qua H
Do $\Delta \bot [\alpha ]$và $\Delta \subset [P]\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \right] \right]$
Chú ý: Trong trường hợp d cắt [P] ta lấy điểm $A=d\cap [P]$
| Bài tập 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1}$trên mặt phẳng $[P]:x-y+z-1=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A[1-t;2+2t;-1-t]=d\cap [P]\Rightarrow A\in [P]\Rightarrow 1-t-2-2t-1-t-1=0\Rightarrow t=-\frac{3}{4}$
Suy ra $A\left[ \frac{7}{4};\frac{1}{2};-\frac{1}{4} \right]$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \right] \right]=\left[ [1;-1;1];[1;0;-1] \right]=[1;2;1]$
Vậy $\Delta :\frac{x-\frac{7}{4}}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{2}=\frac{z+\frac{1}{4}}{1}$
| Bài tập 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{2}$trên mặt phẳng $[P]:2x+y-3z+5=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A[2+t;-1+3t;3+2t]=d\cap [P]\Rightarrow A\in [P]\Rightarrow 4+2t-1+3t-9-6t+5=0\Rightarrow t=-1$
Suy ra $A\left[ 1;-4;1 \right]$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \right] \right]=\left[ [2;1;-3];[-11;7;-5] \right]=[16;43;25]$
Vậy $\Delta :\frac{x-1}{16}=\frac{y+4}{43}=\frac{z-1}{25}$
| Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng$d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$trên mặt phẳng $[P]:x-3y+2z+6=0$
A. $\left\{ \begin{array} {} x=1+31t \\ {} y=1+5t \\ {} z=-2-8t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=1-31t \\ {} y=1+5t \\ {} z=-2-8t \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=1+31t \\ {} y=3+5t \\ {} z=-2-8t \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=1+31t \\ {} y=1+5t \\ {} z=2-8t \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A[-3+2t;-1+t;-t]\in d$, cho $A\cap [P]\Rightarrow -3+2t+3-3t-2t+6=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow A[1;1;-2]\in \Delta $
Lại có $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \right] \right]=\left[ [1;-3;2];[-1;-5;-7] \right]=[31;5;-8]$
Vậy $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1+31t \\ {} y=1+5t \\ {} z=2-8t \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
| Bài tập 4 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1}$trên mặt phẳng [Oxy]?
A. $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=2-3t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=-2+3t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.$ C. $\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2+3t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=-2-3t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: [Oxy]: z = 0, các điểm $A[1;-2;3],B[3;1;4]\in d$. Gọi A’ là hình chiếu của A lên [Oxy]
$\Rightarrow A'[1;-2;0]$. Gọi B’ là hình chiếu của B lên [Oxy] $\Rightarrow B'[3;1;0]$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}[2;3;0]$. Phương trình đường thẳng hình chiếu là: $\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2+3t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
.