*Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a] Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
b] Quy tắc nhân với một số
Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0
*Hai quy tắc biến đổi bất phương trình:
a] Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.
b] Quy tắc nhân với một số
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
1. Các kiến thức cần nhớ
Tập nghiệm của bất phương trình
+ Số \[x = a\] gọi là nghiệm của một bất phương trình nếu ta thay \[x = a\] vào bất phương trình thì được một bất đẳng thức đúng.
+ Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
+Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
Ví dụ:
+ Hình 1a biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \[x > 2\] .
+ Hình 1b biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \[x \le 4\] .
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình dạng \[ax + b > 0\] [hoặc \[ax + b < 0,\] \[ax + b \ge 0,\] \[ax + b \le 0\]] trong đó \[a\] và \[b\] là hai số đã cho, \[a \ne 0\], gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ: \[4x + 3 > 0;\,5 - 2x < 2\] là những bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Qui tắc nhân với một số:
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác $0,$ ta phải:
+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
Ví dụ: \[2x - 5 > 3 \Leftrightarrow 2x > 3 + 5 \]\[\Leftrightarrow 2x > 8\]\[ \Leftrightarrow x > 4\]
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định nghiệm, tập nghiệm của bất phương trình và biểu diễn trên trục số
Phương pháp:
Ta sử dụng các quy tắc sau:
* Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
* Qui tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
Ngoài ra ta còn sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng mẫu… để biến đổi.
Dạng 2: Xác định hai bất phương trình tương đương
Phương pháp:
Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
Định nghĩa:
Bất phương trình dạng \[ax+b0, ax+b \leq 0, ax+b \geq 0]\] trong đó \[a\] và \[b\] là hai số đã cho, \[a \neq 0,\] được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 1:
\[5-4x \geq 0\] là bất phương trình bậc nhất một ẩn \[[\]ẩn \[x]\] với \[a=-4\] và \[b=5.\]
\[7y-3 0\] không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì hệ số của ẩn là \[a=0.\]
\[-3x^2-12.\]
Lời giải:
\[x+3>-12\]
\[\Leftrightarrow x>-12-3\] \[[\]Chuyển vế \[+3\] và đổi dấu thành \[-3]\]
\[\Leftrightarrow x>-15.\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x>-15\}\]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình \[5x\leq 4x-2\] và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Lời giải:
\[5x\leq 4x-2\]
\[\Leftrightarrow 5x-4x \leq -2\] \[[\]Chuyển vế \[4x\] và đổi dấu thành \[-4x]\]
\[\Leftrightarrow x \leq -2\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x \leq -2\}\]
Tập nghiệm này được biểu diễn như sau:
b] Quy tắc nhân với một số
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác \[0,\] ta phải:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình \[0,2x > 4.\]
Lời giải:
Ta có:
\[\Leftrightarrow 0,2x.5>4.5\] \[[\]Nhân cả hai vế với \[5]\]
\[\Leftrightarrow x>20.\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x>20\}\]
Ví dụ 5: Giải bất phương trình \[\dfrac{-1}{5}x < -4\] và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.Lời giải:
Ta có:
\[\Leftrightarrow \dfrac{-1}{5}x.[-5] > [-4].[-5]\] \[[\]Nhân cả hai vế với \[-5\] và đổi chiều\[]\]
\[\Leftrightarrow x >20.\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x>20\}\]Tập nghiệm này được biểu diễn như sau:
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 6: Giải bất phương trình \[4x-5 >0\] và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Lời giải:
\[\Leftrightarrow 4x>5\] \[[\]Chuyển \[-5\] sang vế phải và đổi dấu\[]\]
\[\Leftrightarrow 4x:4>5:4\] \[[\]Chia cả hai vế cho \[4\] và giữ nguyên chiều\[]\]
\[\Leftrightarrow x >1,25.\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x>1,25\}\] và được biểu diễn trên trục số như sau:
Chú ý:
Để cho gọn khi trình bày, ta có thể:
- Không ghi câu giải thích;
- Khi có kết quả \[x>1,25\] thì coi là giải xong và viết đơn giản:
Nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x>1,25\}.\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x>2\}.\]
Giải bất phương trình đưa được về dạng \[ax+b 0\]; \[ax+b \leq 0\]; \[ax+b \geq 0\]
Ví dụ 8: Giải bất phương trình \[5x-4 \geq 8x+5.\]Lời giải:
\[\Leftrightarrow 5x-8x \geq 5+4\]
\[\Leftrightarrow [-3]x \geq 9\]
\[\Leftrightarrow x \leq 9:[-3]\]
\[\Leftrightarrow x \leq -3.\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[\{x|x\leq -3\}.\]