Viết phương trình đường thẳng AB trong Oxyz

Các dạng lập phương trình đường thẳng thường gặp

Các dạng lập phương trình đường thẳng thường gặp trong hình học Oxyz. Bài tập trắc nghiệm.

Để viết  phương trình đường thẳng cần phải có

–          1 véc tơ chỉ phương

 là 1 véc tơ chỉ phương thì

 là vtcp

–          1 điểm nằm trên đường thẳng

Dạng 1: Lập phương trình đường thăng đi qua 2 điểm A, B

Véc tơ

 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Chọn điểm A hoặc điểm B để viết phương trình dạng tham số hoặc tổng quát

Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)

Véc tơ  là véc tơ pháp tuyến của (P)

Véc tơ  là véc tơ pháp tuyến của (Q)

Véc tơ chỉ phương của d là  

 

 Cách tìm tọa độ M:

.(1)

(2)

Giải hệ

Cho  hoặc

 hoặc  một giá trị để tìm 2 giá trị còn lại

Dạng 3: Lập phương trình đương thẳng song song với đường thẳng cho trước

Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước

là véc tơ pháp tuyến của (P) thì vtcp của d là 

hoặc 

Dạng 5: Lập phương trình đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cho trước và đi qua 1 điểm

Véc tơ chỉ phương của d là  

 

Khi có 1 điểm và véc tơ chỉ phương chúng ta sẽ lập đc phương trình đường thẳng

 Dạng 6: Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với 1 đường thẳng

Véc tơ chỉ phương của d là  

 

 Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng song song với 2 mặt phẳng cho trước

Véc tơ chỉ phương của d là

 

Dạng 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A vuông góc và cắt đường thẳng cho trước.

Dạng 9: Lập phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng d và d’

Bài tập phương trình đường thẳng trong không gian là phần kiến thức quan trọng nằm trong chương trình toán hình lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bài viết dưới đây của VUIHOC sẽ giúp các em ôn tập kiến thức và các dạng bài tập kèm hướng dẫn giải chi tiết.

Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a; b; c)$

Phương trình tham số d:

$x = x_{0} + at$

$y = y_{0} + bt$

$z = z_{0} + ct$

$(t \epsilon R)$

1.2. Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian

Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$

Phương trình chính tắc của d: $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (abc \neq 0)$

1.3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng 1 đi qua $M_{1}$ và có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Khi đó vị trí tương đối $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ được xác định như sau:

1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng d đi qua  $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng (P): $Ax + By + Cz + D = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{u} = (A; B; C)$. Khi đó:

1.5. Góc giữa 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ khi đó:

>> Xem thêm: Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập

1.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (a; b; c)$ mặt phẳng (P) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{n} = (A; B; C)$. Khi đó:

>> Xem thêm: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1.7. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

Cho điểm M cùng đường thẳng $\Delta$ đi qua N có vectơ $\overrightarrow{u}$. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến $\Delta$ xác định bởi công thức.

1.8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cách 1:

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta_{1}$ đi qua $M_{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} . \Delta_{2}$ đi qua $M_{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}$. Khi đó:

Cách 2:

Gọi AB là đoạn thẳng vuông góc $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ với $A \epsilon \Delta_{1}, B \epsilon \Delta_{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} \, . \, \overrightarrow{u_{1}} = 0$ hoặc $\Rightarrow \overrightarrow{AB} \, . \, \overrightarrow{u_{2}} = 0$

$\Rightarrow d(\Delta_{1}, \Delta_{2})=AB$

2. Các dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng trong không gian và cách giải

2.1. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Ví dụ 1: Với tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng

d: $\frac{x + 1}{2}=\frac{y - 1}{1}=\frac{z - 2}{3}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với d, song song với (P) và đi qua A(1; 1; -2).

Giải:

Để tìm được vectơ chỉ phương của $\Delta$ ta phải tìm 2 vectơ chỉ phương không cùng phương của nó sau đó tìm tích có hướng của 2 vecto.

Như vậy ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{u_{d}}; \overrightarrow{_{p}}]=(2; 5; -3)$

Trong đó: $\overrightarrow{u_{d}} = (2; 1; 3); \overrightarrow{_{p}}=(1; -1; -1)$

$\Delta$ đi qua A(1; 1; -2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (2; 5; -3)$

$\Rightarrow$ Ta có phương trình: $\Delta : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 2}{-3}$

Ví dụ 2: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng

$\Delta: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc và cắt với $\Delta$, qua M(2; 1; 0).

Giải:

2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Ví dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng  

$d: \frac{x + 1}{3}=\frac{y - 2}{-2}=\frac{z - 2}{2}$ và $P: x + 3y + 2z + 2=0$. Viết phương trình của $\Delta$ song song với (P), cắt đường thẳng (d) và đi qua M(2; 2; 4).

Giải:

Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian có đường thẳng $d: \frac{x - 1}{2}=\frac{y + 1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A(2; 3; -1) và cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến $\alpha: x + y + z = 0$ bằng $2\sqrt{3}$.

Giải:

Do $B \epsilon d \Rightarrow$ Tọa độ B(1 + t; 2 + 2t; -t)

Do khoảng cách từ B tới $\alpha: x + y + z = 0$ bằng $2\sqrt{3}$ nên:

• Với t = 2 thì B(3; 6; -2)

$\Delta$ đi qua B(3; 6; -2) và nhận $\overrightarrow{AB} (1; 3; -1)$ làm vecto chỉ phương:

$\Rightarrow$ Phương trình $\Delta: \frac{x - 3}{1}=\frac{y - 6}{3}=\frac{z - 2}{-1}$

• Với t = -4 thì B(-3; -6; 4)

$\Delta$ đi qua B(-3; -6; 4) và nhận $\overrightarrow{AB}(-5; -9; 5)$ làm vecto chỉ phương:

$\Rightarrow$ Phương trình $\Delta: \frac{x + 3}{-5}=\frac{y + 6}{9}=\frac{z - 4}{5}$

2.3. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

Ví dụ 1: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian, viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả 2 đường thẳng $d_{1}: 2x + 3x + 11 = 0$ hoặc $y - 2z + 7 = 0$ và $d_{2}:  \frac{x - 2}{2}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z - 1}{-5}$

Giải:

Viết phương trình đường thẳng:

Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian với 3 đường thẳng có phương trình:

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ biết $\Delta$ cắt $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ lần lượt tại A, B, C để AB = BC.

Giải:

Xét 3 điểm A, B, C lần lượt nằm trên $d_{1}; d_{2}; d_{3}$

Giả sử: A(t; 4 - t; -1 + 2t); B(u; 3 - 3u, -3u) và C(-1 + 5v, 1 + 2v, -1 + v)

Ta có A, B, C thẳng hàng và BC = AB ⇔ B chính là trung điểm của BC

Tọa độ 3 điểm A(1; 3; 1); B(0; 2; 0); C(-1; 1; -1)

$\Delta$ đi qua B(0; 2; 0) và có $\overrightarrow{CB}(1; 1; 1)$

2.4. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian, đường thẳng $d: x = 2 + 4t; y = 3 = 2t$ và $z = -3 + t$. Mặt phẳng $(P): -x + y + 2z + 5 = 0$. Viết phương trình nằm trong mặt phẳng (P) song song và cách d một khoảng bằng $\sqrt{14}$.

Giải:

Ví dụ 2: 

Giải:

Trên đây là toàn bộ kiến thức lý thuyết và bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian. Hy vọng rằng qua bài viết này các em có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!