SỐ TỰ NHIÊN VÀ CÁC PHÉP TOÁN SỐ HỌC
Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh đượcnếu như có các điều kiện đi trước [tiên đề] quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước.
1- Số tự nhiên
"Chúa tạo ra số nguyên, tất cả những thứ còn lại là sản phẩm của con người" -Leopold Kronecker
Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiêncủa con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:
- Một là số lượng mũimà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
- Hailà số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
[Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của các khái niệm mũi, mắt, mèo... mà chỉ dùng ví dụ này để giải thích cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều có thể quy định theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này.]
Việc đếm này hoàn toàn mang tính chất định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng "tính chất" như nhau. Việc quy định tính chất này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì có thể rất linh hoạt, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự đồng nhất. Giả sử chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó có thể có 5 quả cam, nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như chúng ta quy định rằng việc đếm dành cho riêng tính chất "cam" của quả và "chanh" của quả thì chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như chúng ta quy tất cả những vật trong rổ đều cùng một tính chất "quả" thì chúng ta vẫn sẽ có 5 "quả". Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có các tính chất trên, hay là mặc định đồng nhất về tính chất [cho công bằng trong những trường hợp trao đổi chẳng hạn]. Và để biểu thị cho việc định tính này, lịch sử loài người chứng kiến các phương thức khác nhau của các nền văn minh/dân tộc khác nhau:
- Người Ai Cập áp dụng hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm:
- Người La Mã sử dụng hệ thống số La Mã:
- Và hệ thống số Ả-rập được sử dụng rộng rãi trong Toán học hiện đại:
Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học [mathemetical object].Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều:
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic
-Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học
Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3... hay không thì câu trả lời là CÓ.Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng.
2- Các phép toán số học sơ cấp [Elementary Arithmetic] và tiên đề Peano [PeanoAnxioms]
Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toánlà những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng [hoặc phần tử] để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:
- Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng "+"
- Phép trừ:Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng "-"
- Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản [scaling operation], cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu "x"
- Phép chia:Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là ":"
Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano[27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932] đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano.Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :
Định đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là một số tự nhiên:
1. 0 là một số tự nhiên
Bốn định đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau
2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân [reflexive]
3. Với tất cả các số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng
4. Với tất cả các số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu
5. Với mỗi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng.
[Một tập hợp đóng trong điều kiện phép toán a là khi thực hiện phép toán a lên các phần tử của tập hợp ta chỉ được kết quả là một phần tử của tập hợp đấy]
Các định đề còn lại định hình tính chất phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện hàm tiết triển đơn trị S:
[Hàm tiết triển[successor function] là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy , còn Hàm đơn trị [single-valued] là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.]
6. Với mỗi số tự nhiên n, S[n] là một số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng đối với điều kiện hàm S.
7. Với mỗi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S[m] = S[n]. S là một hàm đơn ánh
8. Với mỗi số tự nhiên n, S[n] = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.
9. Nếu K là một tập hợp mà:
- 0 thuộc K
- Với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K mà S[n] cũng thuộc K thì K chứa tất cả các số tự nhiên
Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:
Ta có dãy N bắt đầu bằng 0.
Phần tử tiếp theo của dãy N là sản phẩm của hàm tiết triển S đối với 0, ký hiệu là S[0]. Theo quy tắc như thế, chúng ta sẽ có sản phẩm tiếp theo là S[S[0]], S[S[S[0]]]... Và dãy N sẽ như thế này:
N = 0, S[0], S[S[0]], S[S[S[0]]], ...
Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép Cộng và Nhân, được xây dựng như sau:
Phép cộng:
a + 0 = a
a + S[b] = S[a+b]
Phép nhân:
a . 0 = 0
a . S[b] = [a . b] + a
Chứng minh mệnh đề: "Tại sao 1 + 1 = 2?"
Nếu xét theo quan điểm của Toán học hiện đại, việc chứng minh “1 + 1 = 2” là thừa, vì nó không có bất kỳ một ý nghĩa nào nữa, thậm chí, người ta còn có thể chứng minh được rằng “1 + 1” không bằng 2. Xin trình bày với các bạn một cách thức xây dựng mà ở đây “1 + 1” sẽ không bằng 2 nữa, mà bằng một cái gì đó tùy ý theo đúng quan điểm của Toán.
Câu trả lời cho "Tại sao 1 + 1 = 2?"
Trang chủ > Khoa học và bạn đọc
Đối với nhiều người, câu hỏi tưởng như vô cùng đơn giản: “Tại sao 1 + 1 = 2?” lại là một trong những câu hỏi khó trả lời nhất. Tại sao? Vì nó gần như là hiển nhiên. Bạn có 1 trái táo, sau đó có người cho bạn 1 trái nữa, thì bạn có 2 trái, tự nhiên nó đã như thế.