12:47:2821/07/2021
Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào?
• Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án
1. Phương trình sinx = a [1]
- Nếu |a| > 1: phương trình [1] vô nghiệm.
- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là
Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết:
α = arcsina.
Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là:
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
* Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt:
° a = 1 khi đó sinx = 1
° a = -1 khi đó sinx = -1
° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
° Đặc biệt nếu:
+]
+]
* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] sinx = 1/3;
b] sin[x + 45o] = [-√2]/2.
> Lời giải:
a] sinx = 1/3
⇔ x = arcsin[1/3].
- Vậy phương trình sinx = 1/3 có các nghiệm là:
x = arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z
b] sin[x + 45o] = -[√2]/2.
- Vì: [-√2]/2 = sin[-45o] nên
sin[x + 45o] = [-√2]/2
⇔ sin[x+45o] = sin[-45o]
⇔ x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z
⇔ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z
và x + 45o = 180o - [-45o] + k360o, k ∈ Z
⇔ x = -90o + k360o, k ∈ Z
và x = 180o - [-45o ] - 45o + k360o,k ∈ Z
Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z
2. Phương trình cosx = a [2]
- Nếu |a| > 1: phương trình [2] vô nghiệm.
- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình [2] có các nghiệm là:
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết:
α = arccosa.
Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là:
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
* Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt:
° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z
° a = -1 khi đó cosx = -1
° a = 0 khi đó cosx = 0
° Đặc biệt nếu:
+]
+]
* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] cosx = [-1]/2;
b] cosx = 2/3;
c] cos[x + 30o] = √3/2.
> Lời giải:
a] cosx = [-1]/2;
- Vì [-1]/2 = cos[2π/3] nên cosx = [-1]/2
⇔ cosx = cos[2π/3]
⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z
b]cos x = 2/3
⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z
c] cos[x + 30o] = √3/2.
- Vì [√3]/2 = cos30o nên cos[x + 30o]= [√3]/2
⇔ cos[x + 30o] = cos30o
⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z
⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z
3. Phương trình tanx = a [3]
- Điều kiện:
- Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết:
α = arctana.
Khi đó các nghiệm của phương trình [3] là: x = arctana + kπ, k ∈ Z
* Đặc biệt nếu:
+] tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
+] tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z
* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:
a] tanx = 1; b] tanx = -1; c] tanx = 0.
> Lời giải:
a] tanx = 1 ⇔ tanx = tan[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z
b] tanx = -1 ⇔ tanx = tan[-π/4] ⇔ x =[-π/4] + kπ, k ∈ Z
c] tanx = 0 ⇔ tanx = tan0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
4. Phương trình cotx = a [4]
- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
- Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết:
α = arccota.
Khi đó các nghiệm của phương trình [4] là: x = arccota + kπ, k ∈ Z
* Đặc biệt nếu:
+] cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
+] cotx = cotβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z.
* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau
a] cotx = 1;
b] cotx = -1;
c] cotx = 0.
> Lời giải:
a]cotx = 1 ⇔ cotx = cot[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z
b]cotx = -1 ⇔ cotx = cot[-π/4] ⇔ x = [-π/4] + kπ,k ∈ Z
c]cotx = 0 ⇔ cotx = cot[π/2] ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z
> Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý:
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Trên đây là nội dung lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải, hy vọng các em có thể nắm vững kiến thức này để vận dụng tốt vào phần bài tập ở bài viết tiếp theo, chúc các em học tốt.
Phương trình \[\sin 2x + 3\sin 4x = 0\] có nghiệm là:
Phương trình \[\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\] có nghiệm là:
Phương trình \[\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\] có nghiệm là:
Nghiệm của phương trình \[4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\] là:
Phương trình \[\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\] có nghiệm là:
Phương trình \[{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\] có nghiệm là:
Giải phương trình \[\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\].
Giải phương trình \[\left[ {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right].\sin 3x = 2\].
Giải phương trình \[\sin 18x\cos 13x = \sin 9x\cos 4x\].
Giải phương trình \[1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\].
Giải phương trình \[\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0\].
Giải phương trình \[\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\].