$\forall x = [x_{1},x_{2},x_{3}]\in \mathbb{R}_{3}, f[x]=[ 2x_{1} - 6x_{2} +2x_{3},x_{1} - 3x_{2} + x_{3}, 3x_{1} - 9x_{2} +3x_{3}$
a, chứng minh f là 1 ánh xạ tuyến tính
b, tìm số chiều và cơ sở của Ker f, Tìm dim[Im f ]
c, Xác định ma trận f ứng với hệ cơ sở $\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \} \in \mathbb{R}^{3}$ với
$u_{1}=\left [ 1,1,0 \right ]$ , $u_{2}=\left [ 1,0,1 \right ]$ , $u_{3}=\left [ 0,1,1 \right ]$
Mấy ah chị giúp dùm em mấy phần này em chưa hiều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vohongdinh: 17-12-2013 - 17:31
- Mrnhan yêu thích
Đã gửi 19-12-2013 - 15:11
kimmai
Binh nhất
- Thành viên
- 30 Bài viết
Bài này cơ bản , bạn xem lại lý thuyết là làm được .
Đã gửi 20-12-2013 - 21:22
maitram
Trung sĩ
- Thành viên
- 103 Bài viết
- Ta có :
- $f[\alpha x]=f[\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha x_{3}]$
$=[2\alpha x_{1}-6\alpha x_{2}+2\alpha x_{3};\alpha x_{1}-3\alpha x_{2}+\alpha x_{3};3\alpha x_{1}-9\alpha x_{2}+3\alpha x_{3}]$
$=\alpha[2x_{1}-6x_{2}+2x_{3};x_{1}-3x_{2}+x_{3};3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}]$
$=\alpha f[x]$
- $f[x+x']=f[x_{1}+x'_{1},x_{2}+x'_{2},x_{3}+x'_{3}]$
$=2[x_{1}+x'_{1}]-6[x_{2}+x'_{2}]+2[x_{3}+x'_{3}],[x_{1}+x'_{1}]-3[x_{2}+x'_{2}]+[x_{3}+x'_{3}],3[x_{1}+x'_{1}]-9[x_{2}+x'_{2}]+3[x_{3}+x'_{3}]$
$=[2x_{1}-6x_{2}+2x_{3},x_{1}-3x_{2}+x_{3},3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}]+[2x'_{1}-6x'_{2}+2x'_{3},x'_{1}-3x'_{2}+x'_{3},3x'_{1}-9x'_{2}+3x'_{3}]$
$=f[x]+f[x']$
\=> f là 1 ánh xạ tuyến tính
- $Ker f=\left \{ [x_{1},x_{2},x_{3}]:2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0;x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0;3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \right \}$
Xét hệ pt :
$\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0\\ x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0\\ 3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3a-b\\ x_{2}=a\\ x_{3}=b \end{matrix}\right.$
\=> 1 cơ sở của Ker f là [ 3,1,0] , [ -1,0,1] và dim [Ker f] = 2
$dim[Kerf]+dim[Imf]=3$
$\Rightarrow dim[Imf]=1$
- Đặt $U=\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \}$
$[f[u_{1}]]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$ , $[f[u_{2}]]_{U}=\begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$ , $[f[u_{3}]]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$
\=> Ma trận của f trong cơ sở U
$A=\begin{pmatrix} -4 &4 &-4 \\ -2 &2 &-2 \\ -6 &6 &-6 \end{pmatrix}$
Đã gửi 21-12-2013 - 13:51
vohongdinh
Lính mới
- Thành viên
- 2 Bài viết
a] Ta có :
$=[2\alpha x_{1}-6\alpha x_{2}+2\alpha x_{3};\alpha x_{1}-3\alpha x_{2}+\alpha x_{3};3\alpha x_{1}-9\alpha x_{2}+3\alpha x_{3}]$
$=\alpha[2x_{1}-6x_{2}+2x_{3};x_{1}-3x_{2}+x_{3};3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}]$
$=\alpha f[x]$
$f[x+x']=f[x_{1}+x'_{1},x_{2}+x'_{2},x_{3}+x'_{3}]$$=2[x_{1}+x'_{1}]-6[x_{2}+x'_{2}]+2[x_{3}+x'_{3}],[x_{1}+x'_{1}]-3[x_{2}+x'_{2}]+[x_{3}+x'_{3}],3[x_{1}+x'_{1}]-9[x_{2}+x'_{2}]+3[x_{3}+x'_{3}]$
$=[2x_{1}-6x_{2}+2x_{3},x_{1}-3x_{2}+x_{3},3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}]+[2x'_{1}-6x'_{2}+2x'_{3},x'_{1}-3x'_{2}+x'_{3},3x'_{1}-9x'_{2}+3x'_{3}]$
$=f[x]+f[x']$
\=> f là 1 ánh xạ tuyến tính
- $Ker f=\left \{ [x_{1},x_{2},x_{3}]:2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0;x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0;3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \right \}$
Xét hệ pt :
$\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0\\ x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0\\ 3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3a-b\\ x_{2}=a\\ x_{3}=b \end{matrix}\right.$
\=> 1 cơ sở của Ker f là [ 3,1,0] , [ -1,0,1] và dim [Ker f] = 2
$dim[Kerf]+dim[Imf]=3$
$\Rightarrow dim[Imf]=1$
- Đặt $U=\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \}$
$[f[u_{1}]]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$ , $[f[u_{2}]]_{U}=\begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$ , $[f[u_{3}]]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$
\=> Ma trận của f trong cơ sở U
$A=\begin{pmatrix} -4 &4 &-4 \\ -2 &2 &-2 \\ -6 &6 &-6 \end{pmatrix}$Bạn có thể giải thích câu b cho mình được không mình không rõ lắm
Đã gửi 21-12-2013 - 21:05
Nxb
Thiếu úy
- ĐHV Toán học Hiện đại
- 671 Bài viết
cho ánh xạ f: R3 --> R3
$\forall x = [x_{1},x_{2},x_{3}]\in \mathbb{R}_{3}, f[x]=[ 2x_{1} - 6x_{2} +2x_{3},x_{1} - 3x_{2} + x_{3}, 3x_{1} - 9x_{2} +3x_{3}$
a, chứng minh f là 1 ánh xạ tuyến tính
b, tìm số chiều và cơ sở của Ker f, Tìm dim[Im f ]
c, Xác định ma trận f ứng với hệ cơ sở $\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \} \in \mathbb{R}^{3}$ với
$u_{1}=\left [ 1,1,0 \right ]$ , $u_{2}=\left [ 1,0,1 \right ]$ , $u_{3}=\left [ 0,1,1 \right ]$
Mấy ah chị giúp dùm em mấy phần này em chưa hiềuCâu này nói chung có thể hiểu một cách tổng quát như sau. $\mathbb{K}$ là một trường thì ánh xạ f được xác định như sau
$$f:{\mathbb{K}}{n} \rightarrow {\mathbb{K}}{m}$$
$$v \rightarrow Av$$
trong đó A là một ma trận cỡ m nhân n trên $\mathbb{K}$ là một ánh xạ tuyến tính. Các trường hợp riêng của nó trên ${\mathbb{R}}^{2}$ sẽ ứng với các phép biến hình quen thuộc ở phổ thông. Ánh xạ này tuyến tính là do: