Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế sách bài tập
|
ax + by = c a' x + b' y = c'
ta có thể làm như sau :
§ 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÊ A. Tóm tắt kiến thức
Muốn giải hệ phướng trình
-by + c
Gi ủ sử rằng ur(i.
Bước 1. Rút một ẩn X từ một phương trình ax + by = c, ta được X =
DUƠC X. I nay X = — vào pnưo
a
trình một ẩn a'. + 6 + b'y = c'.
Q „7..^^..^ X..' 7. ...Ax a’. V
Bước 2. Thay X = VÍJỠ phương trình a'x + b'y = c', ta được một phương
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa được trong bước 2, tìm được giá trị của y.
Bước 4. Thay giá tri vừa tìm được của ẩn y vào biểu thức X = fey —- , ta tìm ạ
được giá trị tương ứng của X.
Cặp giá trị tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý. a) Nếu a = 0 thì b^o. Khi đó ta rút y từ phương trình ax + by = c.
b) Khi các hệ sô a, b, a', b' lủ những số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số của nó có giá tri tuyệt đối nhỏ nhất.
B. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
Giải phương trình (4):
(4) 4x + 15x — 18 = 1 19x = 19 X = 1.
Thay X = 1 vào phương trình (3) ta được :
y = 5.1 -6 = -l.
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; -1).
đối tương đương như sau :
5x - y = 6 4x + 3y = 1 y = 5x - 6
y = 5x - 6 4x + 3y = 1
y = 5x - 6 19x = 19
í
5
y = 5x - 6 4x + 3(5x - 6) = 1
4x + 15x-18 = l Vậy hệ có một nghiệm là (x ; y) = (1 ; -1).
. Í2x-5y = 6
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
y = 5x - 6 X = 1
y = -i X = 1.
(1)
(2)
4x + 7y = -5
> Giải. Vì 2 là hệ số có giá trị tuyệt đối bé nhất nên ta rút X từ phương trình (1). Ta được :
5y + 6
(3)
- Thay X = vào phương trình (2), ta được :
2
5y + 6
+ 7y = -5 hay 2(5y + 6) + 7y = -5.
(4)
Lưu ý. Có thể trình bày phép giải hệ phương trình bằng một dãy các phép biến
Giải phương trình (4) :
(4) lOy + 12 + 7y = -5 « 17y - -17 y = -l.
Thay y = -1 vào phương trình. (3), ta được :
5.(-l) + 6 _J_ 2 ~2
v2; Y
Vậy hệ đa cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) =
Ví dụ 3. Tìm a và b để đường thẳng (d) : ax + by = 7 đi qua hại điểm A(-3 ; 10) và B(2; -9).
> Giải. Vì đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B nên toạ độ của chúng thoả mãn phương trình ax + by = 7 ; nghĩa là :
(1)
(2)
-3a + 10b = 7
2a - 9b = 7 Giải hệ phương trình này với hai ẩn là a và b.
Rút a từ phương trình (2), ta được
(3)
(4)
9b + 7 a =—— ■
2
Thay a = + 7 vào phương trình (1), ta được :
_3.2Ề±2+ i0b = 7 hay -27b-21 + 20b = 14.
- Giải phương trình (4):
(4) -7b = 35 « b = -= -5.
7
- Thay b = -5 vào phương trình (3), ta được :
= -19.
9 (-5)+ 7
Vậy a = -19, b = -5.
Ví dụ 4. Tim giá trị của b để ba đường thẳng (dj): 4x - 3y = 1, (d2): - 5x + 3y = -2, (d3): 5x + by = 7 đồng quy.
❖ Phân tích. Ba đường thẳng (dj), (d2), (d3) đồng quy có nghĩa là đường thẳng (d3) đi qua giao điểm của Với giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 3: hệ phương trình bằng phương pháp thế giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Lời giải: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -1). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 3)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (6; 1). Lời giải: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (148/127 ; – 52/127 )
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 3 -√5 ). a. Để hệ phương trình b. Để hệ phương trình Lời giải: a. Thay x = 1, y = -5 vào hệ phương trình ta được:
Vậy khi a = 1,b = 17 thì hệ phương trình b. Thay x = 3, y = -1 vào hệ phương trình ta được: Vậy khi a = 2, b = -5 thì hệ phương trình (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2): Lời giải: Hai đường thẳng: (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2): Thay x = 2, y = -5 vào hệ phương trình, ta có: Vậy khi a = 8, b = -1 thì hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2): a. Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), B(3/2 ; -1); b. Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14. Lời giải: a. Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), B(3/2 ; -1) nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng. *Điểm A: 3 = -5a + b *Điểm B: Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình: Vậy khi a = – 8/13 ; b = – 1/13 thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), B(3/2 ; -1). Đường thẳng cần tìm là b. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14 là nghiệm của hệ phương trình: Khi đó (d1) và (d2) cắt nhau tại N(6; 1). Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và N(6;1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình đường thẳng. *Điểm M: 9a + 48 = b *Điểm N: 6a – 8 = b Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình: Vậy khi a = – 56/3 , b = -120 thì đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14. a. Hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b. Hai đường thẳng (d1): mx – 3y = 10; (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Lời giải: a. Hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục Oy nên điểm cắt nhau có hoành độ bằng 0. Khi đó điểm (0; y) là nghiệm của hệ phương trình: Vậy khi m = – 32 thì (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Phương trình đường thẳng (d2): x + y = – 3/2 *Vẽ (d1): Cho x = 0 thì y = – 3/2 ⇒ (0; -3/2 ) Cho y = 0 thì x = – 3/2 ⇒ (-3/2 ; 0) *Vẽ (d2): Cho x = 0 thì y = – 3/2 ⇒ (0; -32 ) Cho y = 0 thì x = 3/5 ⇒ (3/5 ; 0) Đồ thị: hình a. b. Hai đường thẳng (d1): mx – 3y = 10; (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục Ox nên điểm cắt nhau có tung độ bằng 0. Khi đó điểm (x; 0) là nghiệm của hệ phương trình: Vậy khi m = 5/2 thì (d1): mx – 3y = 10; (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Phương trình đường thẳng (d1): *Vẽ (d1): Cho x = 0 thì y = 10/3 ⇒ (0; 10/3 ) Cho y = 0 thì x = 4 ⇒ (4; 0) *Vẽ (d2): Cho x = 0 thì y = -2 ⇒ (0; -2) Cho y = 0 thì x = 4 ⇒ (4; 0) Đồ thị: hình b. a. (d1): 5x – 2y = c và (d2): x + by = 2, biết rằng (d1) đi qua điểm A(5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3). b. (d1): ax + 2y = -3 và (d2): 3x – by = 5, biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2). Lời giải: a. *Đường thẳng (d1): 5x – 2y = c đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Ta có: 5.5 – 2.(-1) = c ⇔ 25 + 2 = c ⇔ c = 27 Phương trình đường thẳng (d1): 5x – 2y = 27 *Đường thẳng (d2): x + by = 2 đi qua điểm B(-7; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Ta có: -7 + 3b = 2 ⇔ 3b = 9 ⇔ b = 3 Phương trình đường thẳng (d2): x + 3y = 2 *Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình: Vậy tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5; -1). b. *Đường thẳng (d1): ax + 2y = -3 đi qua điểm M(3; 9) nên tọa độ điểm M nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Ta có: a.3 + 2.9 = -3 ⇔ 3a + 18 = -3 ⇔ 3a = -21 ⇔ a = -7 Phương trình đường thẳng (d1): -7x + 2y = -3 *Đường thẳng (d2): 3x – by = 5 đi qua điểm N(-1; 2) nên tọa độ điểm N nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Ta có: 3.(-1) – b.2 = 5 ⇔ -3 – 2b = 5 ⇔ 2b = -8 ⇔ b = -4 Phương trình đường thẳng (d2): 3x + 4y = 5 *Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình: Lời giải: Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 0) Lời giải: Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (1; 2). Lời giải: Cặp (x; y) = (1; -4) là nghiệm của hệ phương trình. Thay x = 1; y = -4 vào hệ phương trình ta có: Vậy hằng số a = 5; b = -3 Lời giải: Ta đưa về giải hai hệ phương trình: hoặc Giải hệ: Giải hệ: Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x1; y1) = (1; -3) và (x2; y2) = (3; 1) |
