Chứng minh hàm số \[y=\sqrt{|x|}\] không có đạo hàm tại \[x=0\] nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.
Gợi ý:
Hàm số \[y = f[x]\] không có đạo hàm tại \[x_o\] nếu \[\lim\limits_{x\to {0}^{+}} \,\dfrac{f\left[ x \right]-f\left[ 0 \right]}{x} \ne \lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{f\left[ x \right] -f\left[ 0 \right]}{x}\].
Tập xác định: \[ D=ℝ\]. Đặt \[ f[x]=\sqrt{|x|}\].
Ta có:
\[\lim\limits_{x\to {0}^{+}} \,\dfrac{f\left[ x \right]-f\left[ 0 \right]}{x}= \lim\limits_{x\to {0}^{+}}\,\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{x\to {0}^{+}}\, \dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty \\\lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{f\left[ x \right] -f\left[ 0 \right]}{x}=\lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{\sqrt{-x}}{x} =\lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty \]
Vậy hàm số không có đạo hàm tại \[x=0\].
\[y=\left\{ \begin{aligned} & \sqrt{x};\,x\ge 0 \\ & \sqrt{-x};\,x0,\forall x\ge0 \\ & y'