Dưới đây là một số hướng dẫn giải bài tập giải tích 12 mà Kiến Guru gửi tới bạn đọc như là tài liệu để bạn đọc tham khảo khi làm bài tập toán lớp 12. Bài viết tổng hợp công thức, lý thuyết và phương pháp giải từng bài tập trong từng chương một cách đầy đủ và chi tiết, hướng tới các cách giải nhanh, phù hợp cho bạn đọc ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ THPT Quốc Gia sắp tới. Mời các bạn học sinh tham khảo:
Giải bài tập giải tích 12 bài 1 trang 18 SGK
Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a] y = 2 x2 + 3x2 - 36x - 36
b] y = x4 + 2x2 - 3
c] y = x + 1/x
d] y = x3[1 - x]2
e]
Hướng dẫn giải
a] Ta có tập xác định : D = R
y' = 6x
y' = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2
Bảng biến thiên:
Kết luận :
Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2;
b. Ta có tập xác định : D = R
y'= 4x
y' = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên:
Hàm số có giá thị đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3
Hàm số không có điểm cực đại.
c] Ta có tập xác định : D = R \ {0}
y' = 0 ⇔ x = ±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;
hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.
d] Ta có tập xác định : D = R
y'= [ x3 ]’.[1 – x]2 + x3.[ [1 – x]2]’
= 3x2. [1 – x]2 + x3.2[1 – x].[1 – x]’
= 3x2. [1 – x]2 - 2x3[1 – x]
= x2.[1 – x][3 – 5x]
y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 3/5
hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1.
Một số điểm chúng ta cần lưu ý : x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.
Ta có tập xác định: D = R.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số y = f[x]:
1 .Tìm tập xác định.
2. Tính f’[x]. Xác định các điểm thỏa mãn f’[x] = 0 hoặc f’[x] không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra điểm cực trị.
[Điểm cực trị là các điểm làm cho f’[x] đổi dấu khi đi qua nó].
Giải bài tập giải tích 12 bài 2 trang 18 SGK
Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a] y = x4 - 2x2 + 1 ;
b] y = sin2x – x
c] y = sinx + cosx ;
d] y = x5 - x3 - 2x + 1
Hướng dẫn giải
a] TXĐ: D = R.
+ y' = 4x3 - 4x
y' = 0 ⇔ 4x[ x2 – 1] = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.
+ y" = 12x2 - 4
y"[0] = -4 < 0 => x = 0 là điểm cực đại của hàm số.
y"[1] = 8 > 0 => x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
y"[-1] = 8 > 0 => x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.
b] Ta có tập xác định : D = R
+ y' = 2cos2x – 1;
+ y" = -4.sin2x
c] Ta có tập xác định : D = R
+ y' = cosx - sinx
d] Ta có tập xác định : D = R
+ y'= 5x4 - 3x2 - 2
y' = 0 ⇔ 5x4 - 3x2 – 2 = 0
⇔ x = ±1.
+ y" = 20x3 - 6x
Ta có y"[-1] = -20 + 6 = -14 < 0
⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.
Ta có y"[1] = 20 – 6 = 14 > 0
⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Tìm điểm cực trị của hàm số :
1. Tìm tập xác định
2. Tính f’[x]. Tìm các giá trị xi để f’[x] = 0 hoặc f’[x] không xác định.
3. Tính f’’[x]. Xét dấu f’’[xi].
4. Kết luận : Các điểm xi làm cho f’’[xi] < 0 là các điểm cực đại
Các điểm xi làm cho f’’[xi] > 0 là các điểm cực tiểu.
Giải bài tập giải tích 12 bài 3 trang 18 SGK
Chứng minh hàm số
Hướng dẫn giải bài tập toán giải tích 12 bài 3
Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.
+ Chứng minh hàm số
Xét giới hạn :
⇒ Không tồn tại giới hạn
Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 [Dựa theo định nghĩa].
Ta có : f[x] > 0 = f[0] với ∀ x ∈ [-1 ; 1] và x ≠ 0
⇒ Hàm số y = f[x] đạt cực tiểu tại x = 0.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Hàm số y = f[x] liên tục trên [a ; b] và x0 ∈ [a ; b].
+ Hàm số y = f[x] có đạo hàm tại x0 nếu tồn tại giới hạn
+ Hàm số y = f[x] đạt cực tiểu tại x0 nếu tồn tại số dương h sao cho f[x] > f[x0] với ∀ x ∈ [x0 – h ; x0+ h] và x ≠ x0.
Giải bài tập giải tích 12 bài 4 trang 18 SGK
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1
luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.
Hướng dẫn giải
Ta có tập xác định : D = R
+ y' = 3x2 - 2mx – 2
y’ = 0 ⇔ 3x2 – 2mx – 2 = 0
⇔
+ y’’ = 6x – 2m.
⇒
⇒
Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Xét y = f[x] có đạo hàm cấp hai trong khoảng [x0 – h ; x0 + h], h > 0.
+ f’[x0] = 0 và f’’[x0] > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
+ f’[x0] = 0 và f’’[x0] < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Giải bài tập giải tích 12 bài 5 trang 18 SGK
Tìm a và b để các cực trị của hàm số
y = 5/3.a2x3 + 2ax2 - 9x + b
đều là những số dương và x0 = -5/9 là điểm cực đại.
Hướng dẫn giải
Ta có tập xác định : D = R.
+ y’ = 5a2x2 + 4ax – 9.
⇒ y’’ = 10a2x + 4a.
- Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R
⇒ Hàm số không có cực trị [loại]
- Nếu a ≠ 0.
Các cực trị của hàm số đều dương
Những kiến thức cần chú ý trong bài toán :
Xét y = f[x] có đạo hàm cấp hai trong khoảng [x0 – h ; x0 + h], h > 0.
+ f’[x0] = 0 và f’’[x0] > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
+ f’[x0] = 0 và f’’[x0] < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Giải bài tập giải tích 12 bài 6 trang 18 SGK
Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.
Vậy m = -3.
Cùng với những hướng dẫn giải bài tập giải tích 12 của 6 bài thuộc trang 18 SGK giải tích 12 Kiến còn muốn gửi tới bạn đọc những lưu ý về các kiến thức quan trọng qua từng bài nhằm giúp các bạn có thể tóm tắt và nhớ kiến thức nhanh và lâu hơn. Qua bài viết mong rằng bạn đọc sẽ có thêm tài liệu để ôn tập và củng cố tư duy giải toán của mình. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo những bài viết khác của Kiến để học thêm những kiến thức mới. Chúc các bạn ôn tập và đạt kết quả cao trong học tập.