Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3 21x trên đoạn 2 19 bằng

Trang chủ Đề thi & kiểm tra Lớp 12 Toán học Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 môn Toán Bộ GD&ĐT mã đề 123

Câu hỏi: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x]={{x}^{3}}-24x\] trên đoạn [2;19] bằng

A. \[-32\sqrt{2}.\]

B. \[-45.\]

C. \[-40.\]

D. \[32\sqrt{2}.\]

Đáp án

A

- Hướng dẫn giải

Ta có\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 2 \in \left[ {2;19} \right]\\
x = - 2\sqrt 2 \notin \left[ {2;19} \right]
\end{array} \right..\]

\[f\left[ 2 \right] = {2^3} - 24.2 = - 40\]

\[f\left[ {2\sqrt 2 } \right] = {\left[ {2\sqrt 2 } \right]^3} - 24.2\sqrt 2 = - 32\sqrt 2 \]

\[f\left[ {19} \right] = {19^3} - 24.19 = 6403\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - 24x\]trên đoạn \[\left[ {2;19} \right]\]bằng \[ - 32\sqrt 2 \]

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020 môn Toán Bộ GD&ĐT mã đề 123

Lớp 12 Toán học Lớp 12 - Toán học

Giá trị nhỏ nhất của hàm số [fleft[ x right] = {x^3} - 24x] trên đoạn [left[ {2;19} right]] bằng

A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+] Tìm GTLN và GTNN của hàm số [y = fleft[ x right]] trên [left[ {a;;b} right]] bằng cách:

+] Giải phương trình [y' = 0] tìm các nghiệm [{x_i}.]

+] Tính các giá trị [fleft[ a right],;fleft[ b right],;;fleft[ {{x_i}} right];;left[ {{x_i} in left[ {a;;b} right]} right].]  Khi đó:

[mathop {min }limits_{left[ {a;;b} right]} fleft[ x right] = min left{ {fleft[ a right];;fleft[ b right];;fleft[ {{x_i}} right]} right},;;mathop {max }limits_{left[ {a;;b} right]} fleft[ x right] = max left{ {fleft[ a right];;fleft[ b right];;fleft[ {{x_i}} right]} right}.] 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [left[ {a;;b} right].]

Giải chi tiết:

Xét hàm số: [fleft[ x right] = {x^3} - 33x] trên [left[ {2;,,19} right]]

Ta có: [f'left[ x right] = 3{x^2} - 33]

[ Rightarrow f'left[ x right] = 0 Leftrightarrow 3{x^2} - 33 = 0] [ Leftrightarrow {x^2} = 11 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = sqrt {11} ,, in ,,left[ {2;,,19} right]\x =  - sqrt {11} ,, notin ,,left[ {2;,,19} right]end{array} right.]

Ta có: [left{ begin{array}{l}fleft[ 2 right] =  - 58\fleft[ {sqrt {11} } right] =  - 22sqrt {11} \fleft[ {19} right] = 6232end{array} right.][ Rightarrow {f_{min }} = fleft[ {sqrt {11} } right] =  - 22sqrt {11} .]

Chọn B.

Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Quảng cáo

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến [nghịch biến] = l.

   Bước 1: Tính y'=f'[x].

   Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

[1].

   Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành [x1+x2 ]2 - 4x1.x2=l2 [2].

   Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa [2] thành phương trình theo m.

   Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện [1] để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f[x] = ax3+bx2+ cx + d [a ≠ 0] ⇒ f'[x]=3ax2+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'[x]= 3ax2 + 2bx + c có

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'[x] = x2 - 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 |=3

   + f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔

Theo Vi ét ta có

   + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ [x1 + x1]2 - 4x1 x2 - 9 = 0

[thỏa mãn]

Vậy giá trị của m cần tìm là m=

.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + [m-1]x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'[x]= -3x2 + 6x + m - 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 | > 1

   + f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có

   + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ [x1+x2 ]2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +[m - 2] x2 + 1 có khoảng nghịch biến [x1;x2] và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y' = -4x3 + 2[m - 2]x

Để hàm số có khoảng nghịch biến [x1;x2] thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt

Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng [x1;0] và [x2; +∞]

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng [x1;0] có độ dài bằng 1 hay x1 = -1

Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 [thỏa mãn]

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

Quảng cáo

Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f[x] = [m + 1]x3 - 3[m+1]x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Hiển thị đáp án

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ -1. Ta có f'[x]= 3[m+1]x2 - 6[m + 1]x + 2m

   + Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1

   + f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2 ]

Theo Viét ta có

   + Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ [x1 + x2 ]2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0

Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.