CHUYÊN đề GIÁ TRỊ lớn NHẤT GTNN của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [492.48 KB, 28 trang ]
CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.Định nghĩa: Cho hàm số f[x] xác định trên tập D.
∀x ∈ D : f[x] ≤ M
⇔
max f [ x]
∃ x 0 ∈ D : f[x 0 ] = M
D
=M
min f [ x]
D
∀x ∈ D : f[x] ≥ m
⇔
∃ x 0 ∈ D : f[x 0 ] = m
=
2. Định lý : Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a; b] đều có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
trên đoạn đó.
B. BÀI TẬP VỀ GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ
I. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số đại số
Câu 1. Trên
đoạn
y = x3 − 3x 2
[1; 4],
hàm
số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
x bằng
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 2. [C23Đ101] Tìm giá trị nhỏ nhất
trên đoạn
A.
min y = −4 ⇔ x = 2.
[1;4]
Chọn B.
2
Câu 2.
[0; 2].
m = 11
y [1] = 2; y [2] = −4; y [4] = 16
y = x − 7 x + 11x − 2
3
m của hàm số
Câu 1.
B.
m = −2
m=0
m = min y = y [0] = −2.
[0;2]
m=3
A.
0
trên đoạn
B.
1
8
[0;1]
bằng
1
4
C.
D.
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm
số
A.
Câu 3.
1 1
max y = y ÷ = .
[0;1]
4 16
m=−
B.
8
9
Chọn D.
x = 6
y′ = −3 x + 16 x + 12; y′ = 0 ⇔
x = − 2
3
2
Câu 4.
7
8
1
x=
y′ = −24 x + 8 x; y′ = 0 ⇔
4
x
=
0
2
trên đoạn
[ −1;8] .
m=−
Chọn C.
1 1
y [0] = 0; y ÷ = ; y [1] = −5
4 16
1
16
y = − x3 + 8 x 2 + 12 x + 3
11
x=
2
′
′
y = 3x − 14 x + 11; y = 0 ⇔
3
x = 1
y [0] = −2; y [1] = 3; y [2] = 0
C.
D.
Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số
y = 3 x 2 − 8 x3
x = 0
y ′ = 3 x 2 − 6 x; y ′ = 0 ⇔
x = 2
31
2
y [−1] = 0; y − ÷ = − ; y [6] = 147; y[8] = 99
27
3
m=−
C.
31
27
m=−
D.
32
27
31
2
m = min y = y − ÷ = − .
[ −1;8]
27
3
M,m
Câu 5. Gọi
lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
1
y = x3 − 3 x 2 + 5 x + 2
3
số
[0;7].
A.
−2
Tổng
M +m
Câu 5.
trên đoạn
M=
13
3
13
19
13
; y [5] = − ; y [7] =
3
3
3
13
19
; m = − ⇒ M + m = −2.
3
3
B. 2
19
−
3
x = 5
y′ = x 2 − 6 x + 5; y′ = 0 ⇔
x = 1
y [0] = 2; y [1] =
bằng
Chọn C.
Câu 6.
Chọn A.
y′ = 3 x 2 + 2[ m + 1] x + m2 + 1
∆′ = −2m 2 + 2m − 2 < 0 ∀m ∈ ¡
C.
D.
nên hàm
Câu 6. Có bao nhiêu số thực m sao cho Vì
hàm số
y = x3 + [m + 1] x 2 + [m 2 + 1] x
[ −1;1]
[ −1;1]
⇒ 1 + m + 1 + m2 + 1 = 9
⇒m=2
y = x4 − 2x2 + 3
M
của hàm
trên
đoạn
0; 3 .
A.
B.
C.
M =8 3
Câu 8.
M =6
m=
C.
D.
51
4
51
m=
2
[ 3 ] = 6.
Chọn D.
x = 0
y′ = 4 x − 2 x; y′ = 0 ⇔
x = ± 2
2
trên đoạn
[−2;3].
2 51
y [ −2] = 25; y ±
÷
÷ = ; y [3] = 85
2 4
2 51
m = min y = y ±
÷
÷= .
[ −2;3]
2 4
49
m=
4
m = 13
[ 3] = 6
3
M =1
số
B.
y [0] = 3; y [1] = 2; y
0; 3
D.
Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm
A.
Câu 7.
x = 0
y ′ = 4 x 3 − 4 x; y ′ = 0 ⇔
x = ±1
M = max y = y
M =9
y = x 4 − x 2 + 13
m = −3.
hoặc
Vậy có 2 số thực m thỏa ycbt. Chọn C.
Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất
số
¡.
⇒ max y = y[1] = 9
max y = 9?
thỏa mãn
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
số đồng biến trên
Chọn A.
x = 0
y′ = x − 4 x ; y′ = 0 ⇔
x = ± 1
2
3
Câu 9.
1
1 1
y [0] = 0; y ÷ = ; y [1] = −
2
2 16
Câu 9. Giá trị lớn nhất của hàm số
y=
A.
B.
C.
D.
1 2 4
x −x
2
trên đoạn
[0;1]
1 1
max y = y ÷ = .
[ 0;1]
2 16
x = 0
y′ = 4 x 3 − 16 x; y′ = 0 ⇔
x = ±2
bằng
0
Câu 10.
1
16
Chọn B.
y [0] = 7; y [2] = −9; y [3] = 16
M = 16; m = −9 ⇒ M + m = 7.
1
4
1
2
x = 0
y′ = 4 x3 − 4 mx; y′ = 0 ⇔ 2
x = m
Câu 11.
*
M,m
m ≤ 0:
Chọn B.
Hàm số đồng biến trên
[0; +∞].
Câu 10.
Gọi
lần lượt là giá trị ⇒ min y = y [0] = m = 3
[0;1]
16
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
[loại]
hàm số
[0;3].
A.
B.
C.
D.
Câu 11.
y = x4 − 8x2 + 7
Tổng
M +m
trên đoạn *
m ≥ 1:
Hàm số nghịch biến trên
[ 0; m ] .
bằng
−2
⇒ min y = y [1] = 1 − m =
[0;1]
7
16
*
3
11
⇒m=
16
16
0 < m < 1:
x
23
Có bao nhiêu số thực m sao
cho hàm số
min y =
[0;1]
y = x 4 − 2mx 2 + m
m
0
y′
–
0
−m2 + m
⇒ min y = y
[ m ] = −m
2
+m=
3
16
[0;1]
mãn
A. 0
1
3
⇒m=
m= .
B. 1
4
4
C. 2
hoặc
Chọn C.
D. 3
8
y′ =
> 0 ∀x ∈ [3;7]
Câu 12.
Tìm giá trị lớn nhất M của
[ x + 1] 2
Câu 12.
3x − 5
y=
hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 13.
M =0
x +1
trên đoạn
[ 3;7] .
Chọn C.
y′ =
M =1
Câu 13.
M =2
*
M =3
Cho hàm số
⇒ M = max y = y [7] = 2.
[3;7]
x+m
y=
x −1
−1 − m
[ x − 1] 2
m < −1: y ′ > 0 ∀x ∈ [2;4]
⇒ min y = y [2] = 2 + m = 3
[2;4]
[m là
⇒ m =1
1
+
y
thỏa
3
?
16
[loại]
[loại]
min y = 3
[2;4]
*
m > −1: y′ < 0 ∀x ∈ [2;4]
tham số thực] thỏa mãn
.
4+m
y = y [4] =
=3
Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? ⇒ min
[2;4]
A.
B.
C.
D.
Câu 14.
3
m < −1
m = 5 > 4.
3< m≤ 4
m>4
Vậy
Câu 14.
1≤ m < 3
y′ =
Tìm giá trị nhỏ nhất của
y=
hàm số
x +3
x −1
trên đoạn
min y = 6
A.
[ 2; 4] .
min y = −2
[2;4]
[2;4]
B.
min y = −3
C.
min y =
[2;4]
[2;4]
D.
19
3
Câu 15.
Tìm giá trị nhỏ nhất m của
2
y=x +
x
hàm số
1
2 ; 2
m=
A.
x = 3
x2 − 2x − 3
′
;
y
=
0
⇔
x = −1
[ x − 1] 2
[2;4]
Chọn A.
Câu 15.
y′ = 2 x −
2 2 x3 − 2
=
; y′ = 0 ⇔ x = 1
x2
x2
1 17
y ÷ = ; y[1] = 3; y [2] = 5
2 4
m = min y = y [1] = 3.
Chọn D.
trên đoạn
Câu 16.
y′ =
.
17
4
B.
m = 10
19
3
min y = y [3] = 6.
1
;2
2
2
[nhận].
Chọn C.
y [2] = 7; y [3] = 6; y [4] =
2
⇒m =5
Tập xác định
2 − 2x
3 + 2x − x2
D = [ − 3;8]
; y′ = 0 ⇔ x = 1
y [−1] = 0; y [ 1] = 2; y [3] = 0
m=3
T = [ 0; 2] .
0 ≤ y ≤ 2 ∀x ∈ D.
D.
Suy ra
Chọn B.
Tìm tập giá trị T của hàm số
D = [ − 3;8]
2
Câu
17.
Tập
xác
định
y = 3 + 2x − x .
C.
Câu 16.
A.
C.
Câu 17.
m=5
T = [ −1;3]
T = [ −1; 2]
B.
T = [ 0; 2]
T = [ 0;3]
5 11
y [−3] = 0; y ÷ = ; y [8] = 0
2 2
D.
Tìm giá trị lớn nhất M của
2
hàm số
A.
B.
C.
y = 24 + 5 x − x .
M =2 5
M = 30
M =5
5 − 2x
y′ =
24 + 5 x − x
2
; y′ = 0 ⇔ x =
5 11
M = max y = y ÷ = .
[−3;8]
2 2
Câu 18.
y′ =
5
2
Chọn D.
Tập xác định
D = [ − 1; 49]
1
1
−
; y′ = 0 ⇔ x = 24
2 1 + x 2 49 − x
y [−1] = 10 2; y [24] = 10; y [49] = 10 2
M=
D.
Câu 18.
D
Chọn C.
Tìm giá trị lớn nhất m của Câu 19.
hàm số
A.
m = min y = y [24] = 10.
11
2
lim [ − x 2 + 2 x ] = lim [ x 3 − 3 x 2 ]
y = 1 + x + 49 − x .
m = 10
B.
m = 10 2
Vì
x →−∞
= lim−
x →1
x →−∞
x +1
= −∞
x −1
nên các hàm số ở câu A,
C.
D.
B, D không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên
Câu 19.
Hàm số nào sau đây đạt giá tập xác định của chúng. Mặc khác, xét
trị nhỏ nhất trên tập xác định của
y = x4 − 4x2 ,
nó?
hàm số
ta có bảng biến thiên
2
3
2
như sau
y = − x + 2 x.
y = x − 3x .
A.
B.
x
−∞
−1
0
1
x +1
y=
.
4
2
′
y
y = x − 2x .
–
0 + 0 – 0 +
x −1
C.
D.
y
+∞
Câu 20.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
0
m = 10 3
y=
A.
−1
3x − 8 x
x2 − x + 1
25
3
¡
B.
−9
−
26
3
D.
Tính giá trị nhỏ nhất của
y = 3x +
hàm số
4
x2
Câu 20.
y′ =
min y = 3 3 9
A.
min y =
C.
[0; +∞ ]
33
5
trên khoảng
x
[0; +∞ ]
1
3
−∞
y′
–
0
+
y
min y = 2 3 9
D.
D=¡ .
Bảng biến thiên
min y = 7
B.
Tập xác định
Chọn C.
x = 5
−3 x 2 + 16 x − 5
′
;y =0⇔
x = 1
[ x 2 − x + 1] 2
3
[0; +∞].
[0; +∞ ]
−1
⇒ min [ x 4 − 2 x 2 ] = y [ ±1] = −1.
bằng
−8
−
C.
Câu 21.
m = 10 5
1
3
0
[0; +∞ ]
5
0 –
−9
1
⇒ min y = y ÷ = −9.
¡
3
0
Chọn B.
Câu 21.
y′ = 3 −
8 3x3 − 8
2
=
; y′ = 0 ⇔ x = 3
3
3
x
x
3
Bảng biến thiên
x
2
3
3
y′
0
–
0
+
+∞
y
33 9
2
min y = y 3 ÷ = 3 3 9.
[0;+∞ ]
3
Chọn A.
II. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ, hàm số lơgarit
Câu 1. Tính giá trị nhỏ nhất m của
y = ex − x
hàm số
[ − 1;1]
m=
A.
C.
1
e
B.
m =1
trên đoạn
1
y [−1] = + 1; y[0] = 1; y[1] = e − 1
e
1
m = +1
e
m = min y = y [0] = 1.
[ −1;1]
m = e −1
D.
Câu 2.
M,m
Câu 2. Gọi
lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
y = 2x
hàm số
[0;3].
Tổng
2
− 4 x+5
M +m
y = xe
A.
M =0
M=
C.
−x
[0; 2].
trên đoạn
1
e
M=
D.
2
e2
hàm số
[ − 2; 2].
y = x 2e x
Tích
M .m
A. 0
4
e
4e3
A.
m=2
m=2
D.
x = 0
y ′ = [ x 2 + 2 x ]e − x ; y ′ = 0 ⇔
x = −2
4
; y [0] = 0; y [2] = 4e2
2
e
M = 4e 2 ; m = 0 ⇒ M .m = 0.
Chọn A.
y′ = 2 x ln 2 − 22017 − x ln 2; y ′ = 0 ⇔ x =
trên đoạn
2017
y
÷ = 2.2
2
m=2
2
2017
2
= 21009 2
m = min y = 21009 2.
[ 0;2017 ]
Câu 6.
1009
C.
Chọn C.
y [0] = 22017 + 1 = y [2017]
1008
B.
y′ = [1 − x ]e ; y′ = 0 ⇔ x = 1
1
M = max y = y [1] = .
[ 0;2]
e
[0; 2017].
1008
Chọn B.
Câu 5.
C.
D.
Câu 5. Tính giá trị nhỏ nhất m của
y = 2 x + 22017 − x
.ln 2; y ′ = 0 ⇔ x = 2
− 4 x +5
1
2
y [0] = 0; y [1] = ; y [2] = 2
e
e
trên đoạn
bằng
B. 1
hàm số
Câu 3.
y [−2] =
M,m
2
−x
Câu 4.
Câu 4. Gọi
lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
y′ = [2 x − 4]2 x
M = 32; m = 2 ⇒ M + m = 34.
M =1
B.
Chọn C.
y [0] = 32; y[2] = 2; y [3] = 4
trên đoạn
bằng
A. 33
B. 34
C. 36
D. 40
Câu 3. Tính giá trị trị lớn nhất M của
hàm số
Câu 1.
y′ = e x − 1; y′ = 0 ⇔ x = 0
Đặt
Chọn D.
4
y = 2.2 x − .[2 x ]3
3
t = 2 x.
2017
2
1
x ∈ [ −1;0] ⇒ t ∈ ;1
2
m = 21009 2
M,m
Câu 6. Gọi
lần lượt là giá trị lớn Vì
nhất và giá trị nhỏ nhất của y = f [t ] = 2t − 4 t 3
y = 2 x +1 −
hàm số
[ − 1; 0].
A.
Tỉ số
M
m
3
23 x + 2
3
trên đoạn
1 5
f ÷= ;
2 6
bằng
4 2
5
4
3
B.
3
2
2
C.
D.
Câu 7. Tính giá trị lớn nhất M của
y = ln [ x 2 + x + 2 ]
hàm số
đoạn
A.
f ′[t ] = 2 − 4t 2 ; f ′[t ] = 0 ⇔ t = ±
trên
M=
2 2 2
2
f
=
;
f
[1]
=
÷
÷
3
3
2
2 2
2
M
;m = ⇒
= 2.
3
3
m
y′ =
Câu 7.
2
2
Chọn C.
2x +1
> 0 ∀x ∈ [0;2]
x + x+2
2
⇒ M = max y = y [2] = ln 8 = 3ln 2.
[ 0;2]
Chọn C.
[0; 2].
M = ln 2
B.
M = 3ln 2
M = 2 ln 2
y′ = 1 −
M = 4 ln 2
2 x−2
=
; y′ = 0 ⇔ x = 2
x
2
C.
D.
Câu 8.
Câu 8. Tính giá trị nhỏ nhất m của y [1] = 1; y [2] = 2 − 2 ln 2; y[3] = 3 − 2ln 3
y = x − 2 ln x
hàm số
trên đoạn m = min y = y [2] = 2 − 2ln 2.
[ 1;3]
[1;3].
A.
m=0
B.
m = 2 − 2 ln 2
Câu 9.
m =1
m = 3 − 2 ln 3
C.
D.
Câu 9. Tính giá trị lớn nhất M của
y = x [ 2 − ln x ]
hàm số
A.
C.
B.
3
e
M = 2e
M=
D.
y=
Câu 10.
Cho hàm số
max
y=
3
1;e
m
en
M = max y = y [e] = e.
1 2
2 ;e
e
Chọn A.
y′ =
M =e
M=
y′ = 1 − ln x; y′ = 0 ⇔ x = e
1 4
y 2 ÷ = 2 ; y [e] = e; y [e 2 ] = 0
e e
trên đoạn
1 2
e 2 ; e .
Chọn B.
2
4
e2
ln x
.
x
Câu 10.
x = 1
ln x = 0
y′ = 0 ⇔
⇔
2
ln x = 2
x = e
9
1 4
y [1] = 0; y ÷ = 2 ; y [e3 ] = 3
e
2 e
Biết max y = y [e2 ] = 4 ⇒ m = 4; n = 2
2
1;e3
m, n
2 ln x − ln 2 x
x2
e
là các số ⇒ m.n = 8. Chọn C.
m.n
nguyên dương]. Tích
bằng
2
4 x2 − 2 x
′
y
=
2
x
−
2
+
=
A. 4
B. 6
2x +1
2x +1
Câu 11.
C. 8
D. 12
[
Câu 11.
x = 0
y′ = 0 ⇔
x = 1
2
Cho hàm số
y = x − 2 x + ln [ 2 x + 1] .
2
min y = a + ln b
Biết
[0;2017]
[
số hữu tỉ]. Tổng
A.
C.
Câu 12.
3
4
3
2
C.
Câu 13.
a+b
B.
là các
bằng
5
4
5
2
m=0
B.
3
1
m = min y = y ÷ = − + ln 2.
[ 0;2017]
4
2
m=2
m =1
Câu 12.
m=3
y′ = 1 −
D.
Gọi M là giá trị lớn nhất
của hàm số
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
C.
y [2017] = 4064255 + ln 4035
y = x − ln x + 2.
y = 4 ln x − x .
A.
3
1
y [0] = 0; y ÷ = − + ln 2;
4
2
3
5
D.
⇒ a = − ;b = 2 ⇒ a + b = .
Tính giá trị nhỏ nhất m
4
4
của hàm số
A.
a, b
6