09:36:4631/10/2020
Thực tế, việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz ở chương trình lớp 12 hầu hết các bạn sẽ thấy "dễ thở" hơn rất nhiều với hình không gian ở lớp 11.
Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn.
Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu [trùng nhau, cắt nhau] thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0.
Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
- Cho 2 mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng [P] và mặt phẳng [Q] là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại. ký hiệu: d[[P];[Q]].
- Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: Ax + By + Cz + D' = 0 [D ≠ D'] ta dùng công thức sau:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
* Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [α]: x + 2y − 3z + 1 = 0 và [β]: x + 2y − 3z − 4 = 0.
* Lời giải:
- Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:
* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song [α]: x + 2y + 3z - 5 = 0 và [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0
* Lời giải:
- Ta cần đưa các hệ số [trước x,y,z] của mp [β] về giống với mp [α].
- Ta có, mp [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z - 8 = 0
- Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng [α] và [β] là:
* Bài 3 [Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12]: giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
* Lời giải:
- Ta có hình minh họa như sau:
- Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;
⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:
A[0; 0; 0] ; B[1; 0; 0]; C[1; 1; 0]; D[0; 1; 0].
A'[0; 0; 1]; B'[1; 0; 1]; C'[1; 1; 1]; D'[0; 1; 1].
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
- Ta có:
⇒ Vectơ pháp tuyến của mp [AB'D'] là:
- Tương tự, có:
⇒ [AB'D'] // [BC'D].
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
- Mặt phẳng [BC'D] có VTPT
1.[x - 1] + 1.[y – 0] - 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z - 1 = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] chính là khoảng cách từ A đến [BC'D] và bằng:
* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng [AB'D'] rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau:
- Mặt phẳng [AB'D'] có VTPT
[-1].[x - 0] - 1.[y – 0] + 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] là:
Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.
Như vậy, qua bài viết về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz với phương pháp tọa độ ở trên, các em thấy việc tính toán này là rất "dễ chịu" phải không nào?
Nếu bài toán nói tính khoảng cách của 2 mặt phẳng, các em chỉ cần kiểm tra vị trí tương đối của 2 mặt phẳng này, nếu chúng song song thì vận dụng ngay công thức ta có ở trên, còn nếu cắt nhau hoặc trùng nhau thì kết luận ngày khoảng cách này bằng 0, chúc các em học tốt.
Cho 2 mặt phẳng $[P]:\,Ax+By+Cz+D=0$ và $[Q]:\,A'x+B'y+C'z+D'=0$
Ta có:
$\begin{array} {} [P]\equiv [Q]\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'} \\ {} [P]//[Q]\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\ne \frac{D}{D'} \\ {} \\ \end{array}$
[P] cắt [Q] $\Leftrightarrow A:B:C\ne A':B':C'$
Đặc biệt: $[P]\bot [Q]\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{[P]}}}.\overrightarrow{{{n}_{[Q]}}}=0\Leftrightarrow A.A'+B.B'+C.C'=0$
Nếu $[P]//[Q]$ thì vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}$ của mặt phẳng [P] cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [Q]. Ngược lại vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{[Q]}}}$ của mặt phẳng [Q] cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [P].
Nếu $[P]\bot [Q]$ thì $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{[Q]}}}$ .
Bài tập xét vị trí tương đối hai mặt phẳng trong không gian có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $[P]:x-y+z-2=0$ song song với mặt phẳng $[Q]:2x-[{{m}^{2}}+1]y+[3{{m}^{2}}-1]z-4m=0$ khi:
A. $m=1.$ B. $m=-1.$ C. $\left[ \begin{array} {} m=1 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right..$ D. Đáp án khác. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Ta có: $[P]//[Q]\Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{{{m}^{2}}+1}{1}+\frac{3{{m}^{2}}-1}{1}\ne \frac{-4m}{-1}\Leftrightarrow m=-1.$
| Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $[P]:x-2y+z+1=0$ trùng với mặt phẳng $[Q]:[2{{m}^{2}}-1]x-[{{m}^{2}}+1]y+[2-m]z+3m-2=0$ khi:
A. $m=-1.$ B. $m=2.$ C. $m=1.$ D. Đáp án khác. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Ta có: $[P]\equiv [Q]\Rightarrow \frac{2{{m}^{2}}-1}{1}=\frac{{{m}^{2}}+1}{2}+\frac{2-m}{1}=\frac{3m-2}{1}\Leftrightarrow m=1.$
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $[P]:{{m}^{2}}x-y+[{{m}^{2}}-2]z+2=0$và $[Q]:2x+{{m}^{2}}y-2z+1=0$ . Với m là tham số, $m\in \mathbb{R}$. Mặt phẳng [P] vuông góc với mặt phẳng [Q] khi m thỏa mãn A. $\left| m \right|=\sqrt{2}.$ B. $\left| m \right|=1.$ C. $\left| m \right|=2.$ D. $\left| m \right|=\sqrt{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: $\overrightarrow{{{n}_{1}}}[{{m}^{2}};-1;{{m}^{2}}-2],\overrightarrow{{{n}_{2}}}[2;{{m}^{2}};-2]$
$[P]\bot [Q]\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-{{m}^{2}}-2[{{m}^{2}}-2]=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow \left| m \right|=2$
| Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $[P]:2x+ay+3z-5=0$ và $[Q]:4x-y-[a+4]z+1=0.$ Tìm a để [P] và [Q] vuông góc với nhau.
A. $a=0.$ B. $a=1.$ C. $a=\frac{1}{3}.$ D. $a=-1.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=[2;a;3]$ và $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=[4;-1;-[a+4]]$ khi đó
$[P]\bot [Q]\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=8-a-3[a+4]=0\Leftrightarrow a=-1$
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng $[\alpha ]:x+y-z+1=0$ và $[\beta ]:-2x+my+2z-2=0.$ Tìm m để $[\alpha ]$ song song với $[\beta ]$
A. $m=2.$ B. $m=5.$ C. Không tồn tại. D. $m=-2.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Hai mặt phẳng đã cho song song nên $\frac{-2}{1}=\frac{m}{1}=\frac{2}{-1}\ne \frac{-2}{1}$ do không tồn tại giá trị của tham số m
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $[P]:3x+3y-z+1=0$ và hai mặt phẳng $[Q]:[m-1]x+y-[m-2]z+5=0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng $[P],[Q]$ vuông góc với nhau.
A. $m=\frac{1}{2}.$ B. $m=-\frac{1}{2}.$ C. $m=2.$ D. $m=-\frac{3}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Để mp $[P]\bot mp[Q]\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{[P]}}}.\overrightarrow{{{n}_{[Q]}}}=0\Leftrightarrow 3[m-1]+3+m+2=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}.$