Điều kiện của giá trị lượng giác

DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI + Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản. + Dựa vào dấu của giá trị lượng giác.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: a] Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < \alpha < {180^0}.$ Tính $\cos \alpha $ và $\tan \alpha .$ b] Cho $\cos \alpha = – \frac{2}{3}.$ Tính $\sin \alpha $ và $\cot \alpha .$

c] Cho $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 $, tính giá trị lượng giác còn lại.

a] Vì ${90^0} < \alpha < {180^0}$ nên $\cos \alpha < 0$ mặt khác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra: $\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $ $ = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} $ $ = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$ Do đó: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}$ $ = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$ b] Vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ nên $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } $ $ = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}.$ c] Vì $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 < 0$ $ \Rightarrow \cos \alpha < 0$ mặt khác ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.$ Nên $\cos \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2} + 1}}} $ $ = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}.$ Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha $ $ = – 2\sqrt 2 .\left[ { – \frac{1}{3}} \right] = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$

$ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$

Ví dụ 2: a] Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}$. Tính $A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.$

b] Cho $\tan \alpha = \sqrt 2 .$ Tính $B = \frac{{\sin \alpha – \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}.$

a] Ta có $A = \frac{{\tan \alpha + 3\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}$ $ = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$ $ = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}$ $ = 1 + 2{\cos ^2}\alpha .$ Suy ra $A = 1 + 2.\frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}.$ b] $B = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{3{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}$ $ = \frac{{\tan \alpha \left[ {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right] – \left[ {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right]}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left[ {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right]}}.$

Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 [2 + 1] – [2 + 1]}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 [2 + 1]}}$ $ = \frac{{3[\sqrt 2 – 1]}}{{3 + 8\sqrt 2 }}.$

Ví dụ 3: Biết $\sin x + \cos x = m.$ a] Tìm $\sin x\cos x$ và $\left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$

b] Chứng minh rằng $|m| \le \sqrt 2 .$

a] Ta có ${[\sin x + \cos x]^2}$ $ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x$ $ = 1 + 2\sin x\cos x$ $[*].$ Mặt khác $\sin x + \cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2\sin x\cos x.$ Hay $\sin x\cos x = \frac{{{m^2} – 1}}{2}.$ Đặt $\dot A = \left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$ Ta có: $A = \left| {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]\left[ {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right]} \right|$ $ = |[\sin x + \cos x][\sin x – \cos x]|.$ $ \Rightarrow {A^2} = {[\sin x + \cos x]^2}{[\sin x – \cos x]^2}$ $ = [1 + 2\sin x\cos x][1 – 2\sin x\cos x].$ $ \Rightarrow {A^2} = \left[ {1 + {m^2} – 1} \right]\left[ {1 – {m^2} + 1} \right]$ $ = 2{m^2} – {m^4}.$ Vậy $A = \sqrt {2{m^2} – {m^4}} .$ b] Ta có: $2\sin x\cos x$ $ \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ kết hợp với $[*]$ suy ra: ${[\sin x + \cos x]^2} \le 2$ $ \Rightarrow |\sin x + \cos x| \le \sqrt 2 .$

Vậy $|m| \le \sqrt 2 .$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết: a] $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}.$ b] $\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} .$ c] $\cot \alpha = – \sqrt 2 .$

d] $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ và $\sin \alpha = \frac{1}{5}.$

a] $\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}.$ b] $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$, $\tan \alpha = 2$, $\cot \alpha = \frac{1}{2}.$ c] $\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt 6 }}{3}$, $\tan \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$ d] Ta có $\tan \alpha \cot \alpha = 1 > 0$ mà $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ suy ra $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0.$

$\cot \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} – 1} $ $ = – 2\sqrt 6 $ $ \Rightarrow \tan \alpha = – \frac{1}{{2\sqrt 6 }}$, $\cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha $ $ = – \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.$

Bài 2: a] Cho $\sin a = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < a < {180^0}.$ Tính $B = \frac{{3\cot a + 2\tan a + 1}}{{\cot a + \tan a}}.$

b] Cho $\cot a = 5.$ Tính $D = 2{\cos ^2}a + 5\sin a\cos a + 1.$

a] Từ giả thiết suy ra: $\cos a = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$, $\tan a = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$, $\cot a = – 2\sqrt 2 $ $ \Rightarrow B = \frac{{26 – 2\sqrt 2 }}{9}.$ b] $\frac{D}{{{{\sin }^2}a}}$ $ = 2{\cot ^2}a + 5\cot a + \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}$ $ \Rightarrow \left[ {{{\cot }^2}a + 1} \right]D$ $ = 3{\cot ^2}a + 5\cot a + 1.$

Suy ra $D = \frac{{101}}{{26}}.$

Bài 3: Biết $\tan x + \cot x = m.$ a] Tìm ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x.$

b] $\frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}.$

a] ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {m^2} – 2.$ b] ${\tan ^4}x + {\cot ^4}x$ $ = {\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]^2} – 2$ $ = {\left[ {{m^2} – 2} \right]^2} – 2$ $ = {m^4} – 4{m^2} + 2.$

$ \Rightarrow \frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}$ $ = \frac{{\left[ {{m^2} – 2} \right]\left[ {{m^4} – 4{m^2} + 1} \right]}}{{{m^4} – 4{m^2} + 2}}.$

Bài 4: Cho $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}.$ Tính ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha .$

${[\sin \alpha + \cos \alpha ]^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}}$ $ \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}$ [do $\cos \alpha > 0$].
$ \Rightarrow {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha $ $ = [\sin \alpha + \cos \alpha ]$$\left[ {{{\sin }^2}\alpha – \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]$ $ = \frac{{91}}{{125}}.$

Reader Interactions

Với Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

● Để làm dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

● Các bước làm bài:

- Bước 1: Áp dụng công thức thích hợp để tính giá trị các tỉ số tiếp theo [chú ý các công thức lượng giác cơ bản]

- Bước 2: Ứng với miền đã cho của cung α để xét dấu giá trị lượng giác và chọn kết quả đúng.

- Bước 3: Tính các giá trị lượng giác còn lại

Ví dụ 1:

Hướng dẫn giải:

Vì

nên điểm cuối của cung α thuộc góc phân tư thứ I nên cos⁡α > 0

Ví dụ 2: Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

Hướng dẫn giải:

a, Ta có:

Vì

nên điểm cuối của cung α thuộc cung phần tư thứ II, do đó cos⁡α < 0

b, Ta có:

Vì

nên điểm cuối của cung α thuộc cung phần tư thứ III, nên sin⁡α < 0

Vì

nên điểm cuối của cung α thuộc góc phần tư thứ I, do đó cos⁡α > 0

Vì

nên điểm cuối của cung α thuộc góc phần tư thứ IV, do đó cos⁡α > 0

Ví dụ 3: Biết

. Tính giá trị biểu thức sau:

Hướng dẫn giải:

Vì

nên điểm cuối của cung α thuộc góc phần tư thứ II, do đó cos⁡α < 0 nên

Ví dụ 4: Chọn đáp án đúng.

Cho

. Giá trị của sin⁡α là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Ví dụ 5: Chọn đáp án đúng.

Cho

. Giá trị của biểu thức A = sin2⁡α - cos2⁡α là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án B