Đề bài
Từ điểm A ngoài đường tròn [O] vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [ B, C là hai tiếp điểm]. Kẻ đường kính CD của [O].
a] Chứng minh rằng BD//AO.
b] AD cắt đường tròn [O] tại E [A, E, D theo thứ tự]. Chứng minh rằng \[A{B^2} = AE.AD\].
c] Vẽ \[BH \bot DC\] tại H. Gọi I là trung điểm của BH. Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[AB = AC\] [tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau] \[ \Rightarrow A\] thuộc trung trực của \[BC\].
\[OB = OC = R \Rightarrow O\] thuộc trung trực của \[BC\] .
\[ \Rightarrow OA\] là trung trực của \[BC \Rightarrow OA \bot BC\].
Có \[B\]thuộc đường tròn đường kính \[CD \Rightarrow \Delta BCD\]vuông tại \[B \Rightarrow BD \bot BC\].
\[ \Rightarrow BD//AO\] [từ vuông góc đến song song].
b] Do \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[CD \Rightarrow \Delta ECD\] vuông tại \[E \Rightarrow CE \bot AD\].
Xét \[\Delta ACE\] và \[\Delta ADC\] có:
\[\begin{array}{l}\angle CAD\,\,chung;\\\angle AEC = \angle ACD = {90^0}\end{array}\]
\[ \Rightarrow \Delta ACE \sim \Delta ADC\,\,\left[ {g.g} \right]\]
\[\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\] \[ \Rightarrow A{C^2} = AE.AD\].
Mà \[AB = AC\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow A{B^2} = AE.AD\].
c] Kéo dài BD cắt AC tại F.
Ta có: \[OA \bot BC;\,\,BD \bot BC\] \[ \Rightarrow OA//BD\] hay \[OA//DF\].
Xét tam giác CDF có:
O là trung điểm của BD;
\[OA//DF\];
\[ \Rightarrow A\] là trung điểm của \[FC \Rightarrow AC = AF\] [tính chất đường trung bình của tam giác].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AD\,\,\left[ {gt} \right]\\AC \bot AD\,\,\left[ {gt} \right]\end{array} \right. \Rightarrow BH//AC\].
Gọi \[I' = AD \cap GH\].
Áp dụng định lí Ta lét ta có: \[\dfrac{{BI'}}{{AF}} = \dfrac{{DI'}}{{DA}} = \dfrac{{I'H}}{{AC}}\].
Mà \[AF = AC\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow I'\] là trung điểm của \[BH \Rightarrow I' \equiv I\].
Vậy \[A,I,D\] thẳng hàng.