Đề bài
Hình viên phân AB trong hình tròn [O ; R] là phần hình tròn giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB. Hãy tính diện tích hình viên phân AB biết \[\widehat {AOB} = {120^o}\] và R = 10 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Diện tích hình viên phân AB bằng diện tích hình quạt OAB trừ diện tích tam giác OAB.
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AB \[ \Rightarrow OH \bot AB\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Xét tam giác OAB có \[OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\] cân tại O \[ \Rightarrow \] Đường cao OH đồng thời là phân giác \[ \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB} = \dfrac{1}{2}{.120^0} = {60^0}\].
Xét tam giác vuông OAH có:
\[\begin{array}{l}OH = OA.\cos {60^0} = 10.\dfrac{1}{2} = 5\,\,\left[ {cm} \right]\\AH = OA.\sin {60^0} = 10.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \,\,\left[ {cm} \right]\\ \Rightarrow AB = 2AH = 10\sqrt 3 \left[ {cm} \right]\end{array}\]
\[ \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OH.AB = \dfrac{1}{2}.5.10\sqrt 3 = 25\sqrt 3 \,\,\left[ {c{m^2}} \right]\].
Diện tích hình quạt OAB là \[{S_q} = \dfrac{{\pi .{R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{.10}^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{100\pi }}{3}\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\].
Vậy diện tích hình viên phân AB là: \[S = {S_q} - {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{{100\pi }}{3} - 25\sqrt 3 \,\,\left[ {c{m^2}} \right]\].