Đề bài
Bài 1[2,0 điểm]: Rút gọn các biểu thức
\[\begin{array}{l}A = 3\sqrt {\frac{1}{3}} + \frac{1}{2}\sqrt {48} + \sqrt {75} \\B = 3\sqrt {20} - 20\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{4}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\end{array}\]
Bài 2 [2,0 điểm]: Cho hai biểu thức \[A = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 1}}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{6\sqrt x - 4}}{{1 - x}}\]\[\left[ {x \ge 0;\,\,x \ne 1} \right]\].
a] Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].
b] Rút gọn \[B\].
c] Đặt \[P = A.B\]. So sánh giá trị của \[P\] với \[2\].
Bài 3 [1,5 điểm]: Cho hàm số \[y = \left[ {m - 1} \right]x - 4\] có đồ thị là đường thẳng \[\left[ d \right]\].
a] Tìm \[m\] để đường thẳng \[\left[ d \right]\] song song với đường thẳng \[y = 2x + 5\].
b] Vẽ đồ thị hàm số trên với \[m\] tìm được ở câu a.
c] Đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt trục \[Ox\] tại \[A\], cắt trục \[Oy\] tại \[B\]. Tìm \[m\] để tam giác \[OAB\] vuông cân.
Bài 4 [1,0 điểm]: Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên [Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất]
Bài 5 [3,0 điểm]: Cho đường tròn \[\left[ O \right]\] và một điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn. Từ \[M\] kẻ hai tiếp tuyến \[MA,MB\] với đường tròn \[\left[ O \right]\] [\[A\] và \[B\]là hai tiếp điểm]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[OM\] và \[AB\]. Kẻ đường kính \[BC\] của \[\left[ O \right]\].
a] Chứng minh \[4\] điểm \[M,O,A,B\] cùng thuộc một đường tròn.
b] Chứng minh \[OI.OM = O{A^2}\].
c] Qua \[\left[ O \right]\] vẽ đường thẳng vuông góc với \[MC\] tại \[E\] và cắt đường thẳng \[BA\] tại \[F\]. Chứng minh \[FC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ O \right]\].
Bài 6 [0,5 điểm]: Cho ba số dương \[x,y,z\] thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện \[x + y + z = 1\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[P = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}}\].
Lời giải chi tiết
Bài 1 [VD]:
Phương pháp
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn \[\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B \].
Trục căn thức ở mẫu \[\frac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \frac{{C\left[ {\sqrt A - \sqrt B } \right]}}{{A - B}}\].
Cách giải:
+] Ta có:
\[A = 3\sqrt {\frac{1}{3}} + \frac{1}{2}\sqrt {48} + \sqrt {75} \]\[ = 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{1}{2}.4\sqrt 3 + 5\sqrt 3 \] \[ = \sqrt 3 + 2\sqrt 3 + 5\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \]
+] Ta có:
\[B = 3\sqrt {20} - 20\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{4}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\]\[ = 3.2\sqrt 5 - 20.\frac{{\sqrt 5 }}{5} - \frac{{4\left[ {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right]}}{{\left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right]}}\]
\[B = 6\sqrt 5 - 4\sqrt 5 - \frac{{4\left[ {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right]}}{{5 - 3}}\]\[ = 2\sqrt 5 - 2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \].
Bài 2 [VD]:
Phương pháp
a] Thay \[x = 9\] vào \[A\] và tính giá trị.
b] Qui đồng, khử mẫu và rút gọn.
c] Tính \[P = AB\] và xét dấu của hiệu \[P - 2\].
Cách giải:
a] Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].
Điều kiện: \[x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\]
Thay \[x = 9\] [tmđk] vào biểu thức \[A\], ta có: \[A = \frac{{2\sqrt 9 - 4}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{{2.3 - 4}}{{3 - 1}} = \frac{2}{2} = 1\]
Vậy với \[x = 9\] thì \[A = 1.\]
b] Rút gọn \[B\].
Điều kiện: \[x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\]
\[\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{6\sqrt x - 4}}{{1 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 1} \right] + 3\left[ {\sqrt x - 1} \right] - 6\sqrt x + 4}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\\\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\\\,\,\, = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}} = \frac{{{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\]
Vậy \[B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\] với \[x \ge 0;\,\,x \ne 1\].
c] Đặt \[P = A.B\]. So sánh giá trị của \[P\] với \[2\].
Điều kiện: \[x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\]
Có \[P = A.B = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}}\]
Xét \[P - 2 = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}} - 2\]\[ = \frac{{2\sqrt x - 4 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt x + 1}}\]
Vì \[ - 6 < 0;\,\,\sqrt x + 1 \ge 0\] với mọi \[x \ge 0;\,\,x \ne 1\]
\[ \Rightarrow \frac{{ - 6}}{{\sqrt x + 1}} < 0\] \[ \Rightarrow P - 2 < 0 \Rightarrow P < 2\].
Vậy \[P < 2\].
Bài 3 [VD]:
Phương pháp
a] Đường thẳng \[d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\].
b] Cho lần lượt \[x = 0,y = 0\] tìm tọa độ các điểm đi qua và vẽ đồ thị.
c] Tìm tọa độ \[A,B\].
Để \[\Delta OAB\] vuông cân tại\[O\]\[ \Rightarrow OA = OB\]
Cách giải:
a] Tìm \[m\] để đường thẳng \[\left[ d \right]\] song song với đường thẳng \[y = 2x + 5\].
Đường thẳng \[\left[ d \right]\] song song với đường thẳng \[y = 2x + 5\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 2\\ - 4 \ne 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\].
Vậy \[m = 3\] thì thỏa mãn bài toán.
b] Vẽ đồ thị hàm số trên với \[m\] tìm được ở câu a.
Với \[m = 3\], ta có: \[\left[ d \right]:\,\,y = 2x - 4\].
Cho \[x = 0\] ta được \[y = 2.0 - 4 = - 4\] nên \[M\left[ {0; - 4} \right]\].
Cho \[y = 0 \Rightarrow 0 = 2x - 4 \Leftrightarrow x = 2\] nên \[N\left[ {2;0} \right]\].
Đồ thị hàm số là đường thẳng \[\left[ d \right]\] đi qua hai điểm \[\left[ {0; - 4} \right]\] và \[\left[ {2;0} \right]\]
c] Đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt trục \[Ox\] tại \[A\], cắt trục \[Oy\] tại \[B\]. Tìm \[m\] để tam giác \[OAB\] vuông cân.
\[\left[ d \right]\] cắt hai trục \[Ox;Oy\] tại \[A,\,\,B\] thì \[m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\].
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = - 4\]\[ \Rightarrow B\left[ {0; - 4} \right] \Rightarrow OB = \left| { - 4} \right| = 4\].
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{{m - 1}}\]\[ \Rightarrow A\left[ {\frac{4}{{m - 1}};0} \right] \Rightarrow OA = \frac{4}{{\left| {m - 1} \right|}}\]
Để \[\Delta OAB\] vuông cân tại\[O\]\[ \Rightarrow OA = OB\]
\[ \Leftrightarrow \frac{4}{{\left| {m - 1} \right|}} = 4 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\,\,\,\left[ {tm} \right]\]
Vậy \[m \in \left\{ {0;2} \right\}\].
Bài 4 [TH]: Phương pháp
Sử dụng giá trị lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông để giải tam giác.
Cách giải:
Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên [Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất]
Chiều cao của cây là: \[h = 1,7 + 20.\tan 35^\circ \approx 15,7m\].
Bài 5[VD]:
Phương pháp
a] Gọi \[K\] là trung điểm \[OM\], chứng minh \[KO = KM = KA = KB\] dựa vào tính chất tam giác vuông.
b] Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \[OAM\].
c] Chứng minh \[\Delta OCE \sim \Delta OFC\left[ {c.g.c} \right]\] suy ra \[\widehat {OCF} = \widehat {OEC} = 90^\circ \].
Cách giải:
Cho đường tròn \[\left[ O \right]\] và một điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn. Từ \[M\] kẻ hai tiếp tuyến \[MA,MB\] với đường tròn \[\left[ O \right]\] [\[A\] và \[B\]là hai tiếp điểm]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[OM\] và \[AB\]. Kẻ đường kính \[BC\] của \[\left[ O \right]\].
a] Chứng minh \[4\] điểm \[M,O,A,B\] cùng thuộc một đường tròn.
Gọi \[K\] là trung điểm của \[OM\]\[ \Rightarrow OK = KM\].
Tam giác \[OAM\] vuông tại \[A\] nên \[AK = KM = KO = \frac{1}{2}OM\][tính chất trung tuyến tam giác vuông].
Tam giác \[OBM\] vuông tại \[B\] nên \[BK = KM = KO = \frac{1}{2}OM\][tính chất trung tuyến tam giác vuông].
Do đó \[OK = KM = KA = KB\].
Suy ra \[4\] điểm \[O,A,M,B\] nằm trên đường tròn tâm \[K\], đường kính \[OM\].
b] Chứng minh \[OI.OM = O{A^2}\].
Ta có: \[OA = OB\] [bán kính]
\[MA = MB\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
\[ \Rightarrow OM\] là trung trực của \[AB\]\[ \Rightarrow OM \bot AB\] tại \[I\].
\[\Delta OAM\] vuông tại \[A\] đường cao \[AI\] \[ \Rightarrow OI.OM = O{A^2}\] [hệ thức giữa cạnh và đường cao].
c] Qua \[\left[ O \right]\] vẽ đường thẳng vuông góc với \[MC\] tại \[E\] và cắt đường thẳng \[BA\] tại \[F\].
Xét \[\Delta OFI\] và \[\Delta OME\] có:
\[\begin{array}{l}\angle O\,\,\,chung\\\angle OIF = \angle OEM = {90^0}\end{array}\]
[các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow OF.OE = OI.OM = O{A^2} = O{C^2}\\ \Rightarrow \frac{{OF}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OE}}.\end{array}\]
Có \[\Delta OCE\] và \[\Delta OFC\]
Nên \[\angle OCF = \angle OEC = {90^0}\] [góc tương ứng]
\[ \Rightarrow FC\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] [đpcm].
Bài 6 [VDC]:
Phương pháp
Nhận xét: \[P = 3 - \left[ {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}}} \right]\]
Sử dụng bất đẳng thức \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\] để đánh giá.
Cách giải:
Cho ba số dương \[x,y,z\] thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện \[x + y + z = 1\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[P = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}}\].
Ta có: \[P = 3 - \left[ {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}}} \right]\]
Mà \[\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}} \ge \frac{9}{{x + y + z + 3}} = \frac{9}{4}\]
\[ \Rightarrow P \le 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}\]
Dấu xảy ra khi \[x = y = z = \frac{1}{3}\].
Vạy \[\max P = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\].