Đề bài
Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Nếu phân số\[\dfrac{a}{b}\neq 0\]thì số nghịch đảo của nó là\[\dfrac{b}{a}.\]
Lời giải chi tiết
Lấy phân số bất kì \[\displaystyle {a \over b}\]với \[a > 0, b > 0.\] Không mất tính tổng quát giả sử \[0 < a b.\]
Đặt \[b = a + m\; [m Z, m 0].\]
Số nghịch đảo của \[\displaystyle {a \over b}\]là \[\displaystyle {b \over a}.\] Ta có :
\[\displaystyle {a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \]
\[\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \]
\[\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\] \[[1]\]
Ta có: \[\displaystyle {m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\][dấu bằng xảy ra khi \[m = 0\]].
Suy ra: \[\displaystyle {a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} \]\[\displaystyle= {{a + m} \over {a + m}} = 1\] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\displaystyle {a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2.\]
Dấu \["="\] xảy ra khi \[m = 0\] hay \[a = b.\]