Dđề kiểm tra 1 tiết toán hình chương2 lớp 10

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,982,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,126,Đề thi THỬ Đại học,399,Đề thi thử môn Toán,64,Đề thi Tốt nghiệp,45,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,206,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,303,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Câu 2 (1đ) Cho \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh các đẳng thức vectơ sau:

1. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {CB} \)

2. \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Câu 3 (2đ) Cho các véc tơ : \(\overrightarrow a = (2; - 3)\) , \(\overrightarrow b = ( - 5;1)\) và \(\overrightarrow c = ( - 5; - 12)\).

1. Tính toạ độ véc tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {2a} + 3\overrightarrow b \) .

2. Phân tích vectơ \(\overrightarrow c \) theo hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Câu 4 (2.5đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4;1); B(0;3); C(1;2).

1. Chứng minh ba điểm A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác.

2. Tìm tọa độ của trung điểm cạnh AB.

3. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

4. Tìm tọa độ điểm D của hình bình hành ABCD.

5. Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho \(AE + BE\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1đ) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB.

1. Tính \(\overrightarrow {DM} \) theo \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DC} \);

2. Gọi N là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {NC} + 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh D, N, M thẳng hàng.

Câu 6 (0.75đ) Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

\(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

Câu 7 (0.75đ) Biết tháp Eiffel ở thủ đô Paris nước Pháp có chiều cao là 324m. Khi xây dựng người ta thiết kế theo tỉ lệ vàng. Tính độ cao từ mặt đất tới tầng 2 của tháp (Đoạn AB)

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

1. Ta có:

ABCD là hình chữ nhật nên \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)

Tam giác ABC vuông tại B nên theo Pitago ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) \( = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 5\).

2. Dựng các điểm E, F sao cho \(\overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AD} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AE = 2AB = 2.3 = 6\\AF = 3AD = 3.4 = 12\end{array}\)

Dựng hình chữ nhật \(AEMF\) ta có :

\(\left| {2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM\)

Tam giác \(AEM\) vuông tại E nên theo Pitago ta có:

\(AM = \sqrt {A{E^2} + E{M^2}} \)\( = \sqrt {{6^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt 5 \)

Câu 2 (1 điểm)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) + \overrightarrow {CI} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \end{array}\)

2. \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IM} } \right) = \overrightarrow 0 \) (đúng vì I là trung điểm của AM)

(đpcm)

Câu 3 (2 điểm)

\(\overrightarrow a = (2; - 3)\) , \(\overrightarrow b = ( - 5;1)\) và \(\overrightarrow c = ( - 5; - 12)\)

a.

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow a = (4; - 6)\\3\overrightarrow b = ( - 15;3)\end{array}\)

\(\overrightarrow u = \overrightarrow {2a} + 3\overrightarrow b = \left( { - 11; - 3} \right)\)

2. Gọi hai số m, n thoã mãn \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \)

Ta có hệ phương trình :\(\left\{ \begin{array}{l}2m - 5n = - 5\\ - 3m + n = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 3\end{array} \right.\)

Vậy : \(\overrightarrow c = 5\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \)

Câu 4 (2.5 điểm)

A(4;1); B(0;3); C(1;2).

1. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;1} \right)\)

Ta có \(\dfrac{{ - 4}}{{ - 3}} \ne \dfrac{2}{1}\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Vậy A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.

2. Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{4 + 0}}{2} = 2\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {2;2} \right)\)

Vậy tọa độ trung điểm của AB là :\(M\left( {2;2} \right)\)

3. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{4 + 0 + 1}}{3} = \dfrac{5}{3}\\{y_G} = \dfrac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow G\left( {\dfrac{5}{3};2} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: \(G\left( {\dfrac{5}{3};2} \right)\)

4. \(\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 1} \right)\)

ABCD là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 1\\{y_D} - 1 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {5;0} \right)\)

e.

Gọi \(E\left( {{x_E};0} \right) \in Ox\)

Gọi B’ đối xứng với B qua trục Ox thì \(B'\left( {0; - 3} \right)\)

\(AE + BE = AE + B'E \ge AB'\)

Do đó \(AE + BE\) đạt GTNN bằng \(AB'\) khi A,B’,E thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 = - 4k\\0 - 1 = k.\left( { - 4} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{4}\\{x_E} = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(E\left( {3;0} \right)\)

Câu 5 (1 điểm)

1. \(\overrightarrow {DM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC} \) (1)

2. \(\overrightarrow {NC} + 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DN} + 2\left( {\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DN} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DN} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {DN} = 2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\overrightarrow {DM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN} \) nên 3 điểm D, M, N thẳng hàng.

Câu 6 (0.75 điểm)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Khi đó

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \\\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {2\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow MG = MI\end{array}\)