Công thức tính khoảng cách giữa 2 vectơ

Cơ sở lý thuyết

Bài toán. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1, Δ2. Hãy xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng này?

Hướng dẫn

Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian, ta phân làm 2 trường hợp riêng biệt

Trường hợp 1: Nếu Δ1 //  Δ2, nghĩa là Δ1: $\left\{ \begin{array}{l} x = {x_1} + a{t_1}\\ y = {y_1} + b{t_1}\\ z = {z_1} + c{t_1} \end{array} \right.,\,\left[ {{t_1} \in R} \right]$ và Δ2: $\left\{ \begin{array}{l} x = {x_2} + ka{t_2}\\ y = {y_2} + kb{t_2}\\ z = {z_2} + kc{t_2} \end{array} \right.,\,\left[ {{t_2} \in R} \right]$

Từ phương trình của đường thẳng ta suy ra

  • M1[x1, y1, z1] và M2[x2, y2, z2]
  • Vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = [a; b; c]

Lúc này, công thức tính khoảng cách:

d[Δ1, Δ2] = $\frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

Trường hợp 2: Nếu Δ1, Δ2 chéo nhau thì Δ1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_1} + {a_1}{t_1}}\\ {y = {y_1} + {b_1}{t_1}}\\ {z = {z_1} + {c_1}{t_1}} \end{array}} \right.,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left[ {{t_1} \in R} \right]$ và Δ2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_2} + {a_2}{t_2}}\\ {y = {y_2} + {b_2}{t_2}}\\ {z = {z_2} + {c_2}{t_2}} \end{array}} \right.,{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left[ {{t_2} \in R} \right]$

Từ phương trình của 2 đường thẳng ta suy ra

  • Hai điểm bất kì M1[x1, y1, z1] ∈ Δ1 và M2[x2, y2, z2] ∈ Δ2
  • Vecto chỉ phương của Δ1: $\overrightarrow {{u_1}} = [{a_1};{b_1};{c_1}]$ và Δ2: $\overrightarrow {{u_2}} = [{a_2};{b_1};{c_2}]$

Lúc này, công thức tính khoảng cách: d[Δ1, Δ2] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Bài tập có lời giải

Nếu bạn còn thắc mắc về cách về cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song hay cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì vui lòng để lại phần bình luận bên dưới, để toanhoc.org giải đáp giúp bạn.

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ chia sẻ đến các bạn phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian. Đây là dạng bài cơ bản thường xuất hiện trong các đề thi và là cơ sở để giải những bài toán nâng cao hơn. Bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức về dạng này và tự tin hơn khi đối mặt với nó. Cùng bắt đầu bài học ngay nhé!

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song được tính đơn giản bằng khoảng cách từ 1 điểm của đường này đến đường còn lại. [Cũng là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng song song].

Đoạn vuông góc chung

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau còn có thể nói là khoảng cách giữa một đường với mặt phẳng song song với đường đó và chứa đường còn lại.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau còn có thể nói là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song chứa 2 đường thẳng đó.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Kí hiệu: d[a,b] khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b.

Giữa 2 đường thẳng có vị trí khác nhau thì sẽ có các cách tính phù hợp.

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song, ta có thể làm 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Lấy một điểm bất kì trên đường thẳng này, sau đó tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia.

==> Tham khảo ngay bài viết Cách tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian nếu bạn còn chưa nắm rõ cách tính nhé!

Cách 2: Giả sử có hai đường thẳng d_1d_2 song song với nhau có phương trình lần lượt là:

  • d_1:\left\{\begin{matrix} x=x_1+at \\ y=y_1+bt \\ z=z_1+ct \end{matrix}\right.
  • d_2:\left\{\begin{matrix} x=x_2+kat \\ y=y_2+kbt \\ z=z_2+kct \end{matrix}\right.

Khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng này sẽ được tính bằng công thức:

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong không gian

d[d_1,d_2]=\frac{|\vec {M_1M_2} \wedge \vec u|}{|\vec u |}

Trong đó:
M_1,M_2: 2 điểm bất kì lần lượt thuộc 2 đường d_1,d_2.
\vec u: Vec tơ chỉ phương của đường bất kì

Giả sử có hai đường thẳng d_1d_2 chéo nhau có phương trình lần lượt là:

  • d_1:\left\{\begin{matrix} x=x_1+a_1t \\ y=y_1+b_1t \\ z=z_1+c_1t \end{matrix}\right.
  • d_2:\left\{\begin{matrix} x=x_2+a_2t \\ y=y_2+b_2t \\ z=z_2+c_2t \end{matrix}\right.

Khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng này sẽ được tính bằng công thức:

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

d[d_1,d_2]=\frac{|[\vec u_1 \wedge \vec u_2] \vec {M_1M_2}|}{|\vec u_1 \wedge \vec u_2|}

Trong đó:
M_1,M_2: Lần lượt là 2 điểm bất kì thuộc d_1,d_2
\vec u_1,\vec u_2: Lần lượt là 2 vecto chỉ phương của d_1,d_2

Lưu ý: Để sử dụng công thức này, trước tiên ta cần phải xét xem chúng có song song hay trùng nhau hay không. Vì nếu song song hay trùng nhau thì mẫu số sẽ bằng 0. Còn nếu kết quả ra 0 thì 2 đường thẳng đó cắt nhau => Khoảng cách là 0.

Xem ví dụ dưới đây:

Cho 2 đường thẳng d_1,d_2 chéo nhau có phương trình lần lượt là: d_1:\left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=1-t \end{matrix}\right.d_2:\left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=3-t \\ z=2-2t \end{matrix}\right..
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d_1,d_2


Thử sức ngay với những bài tập dưới đây để ôn luyện lại kiến thức ở trên nhé!

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian

Khái niệm về đường thẳng là gì? Khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì? Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng? Bài tập liên quan đến khoảng cách hai đường thẳng? Cùng Góc Hạnh Phúc tìm hiểu chi tiết về nội dung này qua bài viết dưới đây nhé.

Xem thêm:

Khái niệm về đường thẳng là gì?

  • Đường thẳng được biết đến là một đường dài vô hạn, mỏng vô cùng, thẳng tuyệt đối và không bị giới hạn về hai phía.
  • Đường thẳng thường được kí hiệu bằng những chữ cái như a, b, c, …

Khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì?

Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là trùng nhau, cắt nhau, song song và chéo nhao.

  • Trong trường hợp hai đường thẳng trùng với nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng sẽ bằng 0.
  • Trong trường hợp hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
  • Trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa nó chính là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung này là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời cũng vuông góc với hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau chính là tồn tại và duy nhất.

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thằng chính xác

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1 đi qua A và có 1 VTCP vecto u1

d2 đi qua B có 1 VTCP vecto u2

Công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1 là:

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1, d2 là:

Ví dụ minh họa: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng là:

d1: [x + 6]/3 = [y – 4]/[-1] = [z – 8]/4

d2: x/2 = [y + 3]/[-1] = [z + 17]/4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2?

Lời giải

Gọi M[ 6;4;8] ∈ d1, H[0;-3;-17] ∈ d2.

Ta có:

Vecto MH = [ 6;-7;-25]

VTCP d2: vecto ud2 = [4;-1;4]

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong Oxyz

Phương pháp 1:

Phương pháp 2:

Ví dụ minh họa: Cho

a. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau?

b. Tính d[d1;d2]

Lời giải

a.

d1 đi qua M1[1;3;-4] có 1 VTCP u1 = [3;1;4]

d2 đi qua M2[3;-4;1], có 1 VTCP u2 = [1;3;4]

Vậy d1, d2 chéo nhau

b.

Cách 1:

Cách 2:

A[1 + 3t;3 + t; -4 + 4t] ∈ d1

B[3 + u; – 4 + 3u; 1 + 4u] ∈ d2

AB chính là đoạn vuông góc chung

AB = d[d1;d2]

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Dựng đoạn vuông góc chung MN của a, b. Khi đó d[a,b] = MN. Ta xét theo những trường hợp dựng đoạn vuông góc chung thường dùng như sau:

Cách 1: Chọn mặt phẳng α chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’. Khi đó d[Δ,Δ’] = d[Δ’, α]

Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song nhau và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó chính là khoảng cách cần tìm.

Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài của đoạn thẳng đó?

Trường hợp 1: Δ, Δ’ vừa chéo nhau lại vừa vuông góc với nhau.

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng α chứa Δ’ và vuông góc với Δ tại I.
  • Bước 2: Trong mặt phẳng α ta kẻ IJ vuông góc Δ’.

Lúc đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d[Δ,Δ’] = IJ

Trường hợp 2: Δ, Δ’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng α có chứa Δ’ và song song với Δ.
  • Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của Δ xuống α bằng cách sẽ lấy điểm M ∈ Δ. Dựng đoạn MN vuông góc với α, lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với Δ.
  • Bước 3:

Hi vọng bài viết trên sẽ giúp bạn đọc hiểu, nhớ công thức và biết áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vào bài tập nhé. Chúc bạn đọc có một ngày học tập thật vui vẻ.

Video liên quan

Chủ Đề