Công thức nghiệm thu gọn sách bài tập

Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = {{ - b} \over a} = {{ - 3} \over 9} = - {1 \over 3}\)

Câu 28 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:

1. \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\)

2. \(\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\)

3. \( - 2\sqrt 2 x - 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\)

4. \({x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)

5. \(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 \) và \( - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1\)?

Giải

a)

\(\eqalign{ & {x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \cr & = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 2 - 2\sqrt 2 = 1 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr & {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{1 + \sqrt 2 - 1} \over 1} = \sqrt 2 \cr} \)

Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức bằng nhau.

b)

\(\eqalign{ & \sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 4 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \sqrt 3 \left( { - 4} \right) \cr & = 1 - 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \cr & = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \cr & {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr & {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

Vậy với x = 2 hoặc \(x = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức đó bằng nhau.

c)

\(\eqalign{ & - 2\sqrt 2 x - 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt 2 .4 \cr & = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 4\sqrt 2 \cr & = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 - 1 \cr & {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = - 2 \cr} \)

Vậy với \(x = - \sqrt 2 \) hoặc \(x = - 2\) thì hai biểu thức bằng nhau.

d)

\(\eqalign{ & {x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 1.2\sqrt 3 \cr & = 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 2\sqrt 3 = 4 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \cr & {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 - \sqrt 3 \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 - 2} \over 1} = - 3 - \sqrt 3 \cr} \)

Vậy với \(x = 1 - \sqrt 3 \) hoặc \(x = - 3 - \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau.

e)

\(\eqalign{ & \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 = - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1} \right) \cr & = 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \cr & = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \cr & = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr & = 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr & = {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \cr & {x_1} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \cr & {x_2} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) - 1 - 2\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{ - 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \cr & = 4 - \sqrt 3 - \sqrt 5 - \sqrt {15} \cr} \)

Câu 29 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5). Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức: