1. Mặt cầu tâm O, bán kính R
• Định nghĩa 1: Mặt cầu tâm O bán kính R là tập hợp những điểm M trong không gian mà OM = R, hay
• Định nghĩa 2 : Hình tròn xoay sinh bởi nửa đường tròn đường kính CD khi quay xung quanh đường thẳng CD là mặt cầu tâm là trung điểm O của CD, bán kính
- Nếu OM = R thì M thuộc mặt cầu [S]. Khi đó OM là bán kính của mặt cầu.
- Nếu OA > R thì A ở ngoài mặt cầu, nếu OB < R thì B ở trong mặt cầu.
- Nếu OI, OJ là hai bán kính mà I, 0, J thẳng hàng thì IJ được gọi là một đường kính của [S].
- Tính chất:
+ Mỗi điểm nằm trên mặt cầu đều nhìn một đường kính không đi qua nó dưới một góc vuông.
+ Tập hợp những điểm M nhìn đoạn IJ cho trước dưới một góc 90° là mặt cầu đường kính IJ.
• Khối cầu hay hình cầu S[O ; R] là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S[O ; R] cùng với tất cả các điểm nằm
trong mặt cầu. Như vậy hình cầu S[O ; R] được định nghĩa là:
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng
Giữa mặt cầu S[O ; R] và mặt phẳng [P] có ba vị trí tương đối phụ thuộc vào khoảng cách từ O đến [P] và bán kính R.
• d[O ; [P]] < R : [P] cắt mặt cầu S[O ; R] theo một đường tròn [T] mà tâm I của [T] là hình chiếu vuông góc của O lên [P]. Bán kính của [T] là r, cho bởi:
Đường tròn [T] có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi d[O ; [P]] = 0, khi đó [P] đi qua O và [T] được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
• d[O ; [P]] = R : [P] tiếp xúc với S[O ; R] tại một điểm I, I là hình chiếu vuông góc của O lên [P]. Trong trường hợp này, [P] được gọi là một tiếp diện của mặt cầu, I là tiếp điếm của [P] và S[O ; R].
• d[O; [P]] > R: [P] không cắt S[O ; R].
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Giữa mặt cầu S[O ; R] và đường thẳng Δ có ba vị trí tương đối phụ thuộc vào d[O ; Δ] và bán kính R.
• d[O ; Δ] < R : Δ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó hình chiếu vuông góc của O lên AB là trung điểm của đoạn AB.
• d[O ; Δ] = R : Δ tiếp xúc mặt cầu tại một điểm A duy nhất. A được gọi là tiếp điểm của Δ với mặt cầu và Δ là tiếp tuyến với mặt cầu tại A. Ngoài ra, OA vuông góc với Δ. Đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu [S] tại A khi và chỉ khi Δ vuông góc với OA tại A.
• d[O ; Δ] > R : Δ không cắt mặt cầu.
4. Định lí
Nếu A là điểm nằm ngoài mặt cầu S[O ; R] thì từ A có vô số tiếp tuyến đến mặt cầu. Khi đó
• Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
• Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• Diện tích mặt cầu S[O ; R] : S = 4πR2.
• Thể tích khối cầu S[O ; R] : V =
6. Các khái niệm nội tiếp và ngoại tiếp thường gặp
• Khối đa diện nội tiếp trong mặt cầu:
- Khối đa diện được gọi là nội tiếp trong mặt cầu nếu các đỉnh của khối đa diện này đều nằm trên mặt
cầu. Khi đó, mặt cầu còn được gọi là ngoại tiếp khối đa diện.
- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp một khối đa diện là điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện đó.
- Tồn tại mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp khi và chỉ khi đáy hình chóp là một đa giác nội tiếp được.
• Mặt cầu nội tiếp một tứ diện:
- Mặt cầu được gọi là nội tiếp tứ diện nếu tâm mặt cầu ở trong tứ diện và các mặt của tứ diện đều là tiếp diện của mặt cầu.
- Khoảng cách từ tâm mặt câu nội tiếp tứ diện đến mỗi mặt của tứ diện đều bằng bán kính mặt cầu.
- Tính chất: Mỗi tứ diện đều có mặt cầu nội tiếp và mặt cầu ngoại tiếp.
7. Trục của đường tròn, trục của tam giác
• Tập hợp những điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng này gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác hay trục của tam giác.
• Tổng quát: Tập hợp các điểm cách đều các điểm của một đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó. Đường thẳng này được gọi là trục của đường tròn.
• Trục của đường tròn thường được sử đụng trong các bài toán về xác định tâm và bán kính của một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ví dụ:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, BC = 8. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian mà
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200.
GiảiGọi O là tâm hình chữ nhật. Ta có : AC = BD = 10. Trong các tam giác MAC và MBD, ta có
MA2 + MC2 = 2MO2 +
MB2 + MD2 = 2MO2 +
Cộng [1] và [2] vế theo vế, ta có MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MO2 +
Vậy : MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200 ⇔ 4MO2 = 100 ⇔ MO2 = 25 ⇔ MO = 5.
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200 là mặt cầu tâm O bán kính R = 5.
27/02/2022 89
C. Cùng thuộc mặt phẳng
Đáp án chính xác
Các tiếp tuyến của mặt cầu tại cùng một điểm thì cùng thuộc mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại điểm đó.
Đáp án cần chọn là: C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho mặt cầu [S] và điểm A nằm ngoài mặt cầu, các điểm B, C, D, E lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A đến mặt cầu. Chọn mệnh đề đúng:
Xem đáp án » 27/02/2022 73
Cho mặt cầu [S] cố định và điểm A di chuyển trong không gian, vị trí của A để tập hợp các tiếp điểm của tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ A là đường tròn lớn là:
Xem đáp án » 27/02/2022 63
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng [ABC] và có SA=a,AB=b,AC=cSA=a,AB=b,AC=c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính R bằng:
Xem đáp án » 27/02/2022 59
Cho mặt cầu [S]. Nếu [P] là mặt phẳng kính của mặt cầu [S] thì:
Xem đáp án » 27/02/2022 54
Cho mặt cầu [S] và điểm A∈[S], [P] là tiếp diện của [S] tại A. Chọn mệnh đề sai:
Xem đáp án » 27/02/2022 54
Chọn mệnh đề đúng:
Xem đáp án » 27/02/2022 52
Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh lần lượt là 2; 2; 1. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trên.
Xem đáp án » 27/02/2022 52
Cho mặt cầu S[I;R] và mặt phẳng [P] cách l một khoảng bằng R2
R2. Khi đó giao của [P] và [S] là đường tròn có chu vi bằng:
Xem đáp án » 27/02/2022 50
Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA=a,SB=2a,SC=3aSA=a,SB=2a,SC=3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là:
Xem đáp án » 27/02/2022 48
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,AD=2a,AA'=3aAB=a,AD=2a,AA'=3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là:
Xem đáp án » 27/02/2022 48
Cho một mặt cầu bán kính bằng 2. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
Xem đáp án » 27/02/2022 48
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
Xem đáp án » 27/02/2022 47
Cho hình chóp tam giác S.ABC có
SAC^=SBC^=90°SAC^=SBC^=90°. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?
Xem đáp án » 27/02/2022 46
Cho mặt cầu [S] có đường kính 10 cm và mặt phẳng [P] cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?
Xem đáp án » 27/02/2022 41