DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \[m\] nhỏ hơn 2018 để phương trình \[{\log _2}\left[ {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right] = 2x\] có nghiệm thực?
A. 2017.
B. 2018.
C. 2016.
D. 2015.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Phương trình đã cho tương đương: \[m + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}} \Leftrightarrow \left[ {m + {2^x}} \right] + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}} + {2^x}\,\,\,\,\left[ 1 \right]\].
Với \[\sqrt {m + {2^x}} > 0;\,\,{2^x} > 0\], xét hàm đặc trưng \[f\left[ t \right] = {t^2} + t\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Ta có \[f’\left[ t \right] = 2t + 1 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right]\]. Do đó hàm \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Vì vậy \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow f\left[ {\sqrt {m + {2^x}} } \right] = f\left[ {{2^x}} \right] \Leftrightarrow \sqrt {m + {2^x}} = {2^x} \Leftrightarrow m = {2^{2x}} – {2^x}\].
Đặt \[a = {2^x} > 0\]. Xét hàm \[g\left[ a \right] = {a^2} – a\], ta có bảng biến thiên:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \[m \ge – \frac{1}{4}\].
Mà \[m\] là số nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \[m \in \left\{ {1;2;3;…;2017} \right\}\].
Vậy có 2017 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tư duy + Casio:
Ta có phương trình \[{\log _2}\left[ {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right] = 2x \Leftrightarrow m + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}}\].
Áp dụng kỹ thuật CALC: Đặt \[{2^x} = y = 100 \Rightarrow m = 9900 = {y^2} – y = {2^{2x}} – {2^x}\].
Đặt \[a = {2^x} > 0\]. Khi đó \[m = g\left[ a \right] = {a^2} – a\].
Như vậy \[m \ge – \frac{1}{4}\], mà \[m\] nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \[m \in \left\{ {1;2;3;…;2017} \right\}\].
Vậy có 2017 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'[x] 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'[x] 3. Lập BBT xét dấu g'[x] 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========Giá trị của $x$ thỏa mãn \[{\log _{\frac{1}{2}}}[3 - x] = 2\] là
Giải phương trình $\log_{3}\left[ {2x-1} \right] = 2$ , ta có nghiệm là:
Giải phương trình $\log_{4}\left[ {x-1} \right] = 3$
Giải phương trình \[{\log _4}[x + 1] + {\log _4}[x - 3] = 3\]
Biết \[a,\,\,b\] là các số thực sao cho \[{x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\], đồng thời \[x,\,\,y,\,\,z\] là các số thực dương thỏa mãn \[\log \left[ {x + y} \right] = z\] và \[\log \left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = z + 1\]. Giá trị của \[\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\] thuộc khoảng:
Giá trị của $x$ thỏa mãn \[{\log _{\frac{1}{2}}}[3 - x] = 2\] là
Giải phương trình $\log_{3}\left[ {2x-1} \right] = 2$ , ta có nghiệm là:
Giải phương trình $\log_{4}\left[ {x-1} \right] = 3$
Giải phương trình \[{\log _4}[x + 1] + {\log _4}[x - 3] = 3\]
Biết \[a,\,\,b\] là các số thực sao cho \[{x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\], đồng thời \[x,\,\,y,\,\,z\] là các số thực dương thỏa mãn \[\log \left[ {x + y} \right] = z\] và \[\log \left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = z + 1\]. Giá trị của \[\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\] thuộc khoảng:
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong \[\left[ { - 2017;2017} \right]\] để phương trình \[\log \left[ {mx} \right] = 2\log \left[ {x + 1} \right]\] có nghiệm duy nhất?
A.
B.
C.
D.
Giải chi tiết:
Với \[m > 0\] ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log \left[ {mx + \log {m^m}} \right] = {10^x}\\ \Leftrightarrow {10^{\log \left[ {mx + \log {m^m}} \right]}} = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow mx + m\log m = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m\left[ {x + \log m} \right] = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m\left[ {\log {{10}^x} + \log m} \right] = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m\log \left[ {m{{10}^x}} \right] = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m{10^x}.\log \left[ {m{{10}^x}} \right] = {10^x}{.10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m{10^x}.\log \left[ {m{{10}^x}} \right] = {10^{{{10}^x}}}\log \left[ {{{10}^{{{10}^x}}}} \right]\end{array}\]
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = t\log t\,\,\left[ {t > 1} \right]\] ta có \[f'\left[ t \right] = \log t + t.\dfrac{1}{{t\ln 10}} = \log t + \dfrac{1}{{\ln 10}} > 0\,\,\forall t > 1\]/
\[ \Rightarrow \] Hàm số \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right]\] nên \[m{.10^x} = {10^{{{10}^x}}}\].
\[ \Leftrightarrow {10^x} = \log \left[ {m{{10}^x}} \right] = \log m + x\]\[ \Leftrightarrow \log m = {10^x} - x = g\left[ x \right]\,\,\left[ * \right]\].
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = {10^x} - x\] ta có \[g'\left[ x \right] = {10^x}\ln 10 - 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow {10^x} = \dfrac{1}{{\ln 10}} \Leftrightarrow x = \log \left[ {\dfrac{1}{{\ln 10}}} \right] = - \log \left[ {\ln 10} \right]\].
BBT:
Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì [*] phải có 2 nghiệm phân biệt.
\[\log m > \dfrac{1}{{\ln 10}} + \log \left[ {\ln 10} \right] \Leftrightarrow m \ge 6,26\].
Mà \[m \in {\mathbb{Z}^ + },\,\,m < 20 \Rightarrow m \in \left\{ {7;8;9;...;19} \right\}\].
Vậy có 13 giá trị của \[m\] thỏa mãn.
Chọn A
Có bao nhiêu số nguyên dương $m < 20$ thỏa mãn $\log \left[ {mx + \log {m^m}} \right] = {10^x}$ có đúng $2$ nghiệm phân ?
Có bao nhiêu số nguyên dương \[m < 20\] thỏa mãn \[\log \left[ {mx + \log {m^m}} \right] = {10^x}\] có đúng \[2\] nghiệm phân biệt trên khoảng \[\left[ { - 1\,;\, + \infty } \right]\].
A. \[7.\]
B. \[6.\]
C. \[14.\]
D. \[13.\]