Cách xếp người vào bàn tròn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Hoán vị vòng quanh, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Hoán vị vòng quanh:
PHƯƠNG PHÁP. Có 3 phần tử được sắp xếp trên một vòng tròn vị trí. Số cách xếp sẽ là hoán vị của m 1 phần tử: [x 1]!. Thật vậy, mỗi cách xếp không thay đổi khi các phần tử lần lượt dời chỗ qua bên phải [hoặc trái] một vị trí. Như vậy, có 1 vị trí trên vòng tròn, nên có p = [- 1]! cách sắp xếp.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người ngồi xung quanh một bàn tròn để dự hội thảo? Lời giải. Sắp theo nguyên tắc hoán vị vòng quanh, có 9! = 362.880 cách sắp xếp. Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi xung quanh một bàn tròn sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ? Chọn 1 bạn nam ngồi cố định vào 1 vị trí, 9 bạn còn lại sẽ hoán vị xung quanh bạn này theo nguyên tắc là nam nữ xen kẽ. Khi đó, các bạn nam còn lại sẽ ở vị trí mang số 3, 5, 7, 9 và nữ sẽ ở vị trí số 2, 4, 6, 8, 10 [theo chiều kim đồng hồ]. Ở mỗi vị trí của mình, các nam và nữ được hoán vị cho nhau. Do đó, có 1.4! -5! = 2.880 cách sắp xếp.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 nữ và 3 nam thành 1 vòng tròn sao cho mỗi nam phải đứng giữa 2 nữ bất kỳ? Chọn 1 nữ cố định, ta xếp 4 nữ còn lại quanh vòng tròn thì giữa 5 nữ này có 5 chỗ trống. Chỉ cần đặt 3 nam vào 3 trong 5 vị trí này thì được ngay một cách xếp. Khi đó, có 4!. A = 1440 cách.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp nhóm 7 bạn ngồi vào bàn tròn của một quán cà phê? Lời giải. Có PG = 6! = 720 cách. Bài 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chữ số 1, bốn chữ số 5 và hai chữ SỐ 6 trên một đường tròn? Lời giải. Có 420 cách chia cho các trường hợp hoán vị thừa vì các chữ số giống nhau. Bài 3. Cho tập hợp 2 = {A, B, C, D, E, F, G}. Có bao nhiêu cách đặt tên đa giác lồi có 7 đỉnh lấy tên đỉnh từ tập ? Lời giải. Có 6! = 720 cách.
Bài 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 người, trong đó có 4 nam và 4 nữ ngồi quanh bàn tròn sao cho: a] thứ tự bất kỳ? b] nam và nữ ngồi xen kẽ? a] Với thứ tự bất kỳ ta có: 7! cách. b] Khi nam và nữ ngồi xen kẽ: Chọn 1 nam cố định. Bài 5. Lớp 10A1 có 10 bạn nam, trong đó có Tuấn và 15 bạn nữ, trong đó có Ngọc. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn bất kỳ của lớp 10A1 ngồi quanh một bàn tròn sao cho chỉ có Tuấn và không có Ngọc? a] nam nữ xen kẽ và có Tuấn với Ngọc ngồi gần nhau? a] Chọn 4 bạn trong đó có Tuấn Với Ngọc thì số cách chọn là = cách [vì không kể thứ tự]. Chọn Tuấn cố định, có hai cách xếp Ngọc ngồi gần Tuấn, còn 2 bạn có 2! cách xếp. b] Chọn 4 bạn trong đó có Tuấn không có Ngọc thì số cách chọn là V3!