Cách xác định hàm số liên tục trên khoảng nào
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.1. Hàm số liên tục Show Định nghĩa. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0∈ K\) . Hàm số \(y = f(x)\) đươc gọi là liên tục tại \(x_0\) nếu \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x) = f(x_0)\). +) Hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \(x_0\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó. +) Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. +) Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) nếu nó liên tục trên khoảng \((a; b)\) và \(\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim} f(x) = f(a)\); \(\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim} f(x)= f(b)\). Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó. 2. Các định lí Định lí 1.
Định lí 2. Giả sử \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là hai hàm số liên tục tại điểm \(x_0\). Khi đó:
Định lí 3. Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \(f(a).f(b) <0\), thì tồn tại ít nhất một điểm \(c ∈ (a; b)\) sao cho \(f(c) = 0\). Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồ tại nghiệm của phương trình trên một khoảng và nó còn được phát triển dưới dạng khác như sau: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \(f(a).f(b) < 0\). Khi đó phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((a; b)\). Bài viết Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11. 1. Lý thuyết
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0 ∈ K. - Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi - Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0.
- Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó. - Hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và ,
Định lý 1: - Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập . - Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Định lý 2: Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại x0. Khi đó: - Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tục tại x0. - Hàm số liên tục tại x0 nếu g( x0 ) ≠ 0. Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b). 2. Các dạng toán Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0. Phương pháp giải: Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0). Bước 2: Tính Bước 3: Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0. Nếu f2(x0) ≠ L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0. (Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = - 1.
Lời giải Hàm đã cho xác định trên . Ta có: f(-1) = 3
Ta thấy Vậy hàm số liên tục tại x = - 1. Ví dụ 2: Cho hàm số: . Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1. Lời giải Hàm đã cho xác định trên [0;+∞) . Ta có f(1) = m2.
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì Vậy Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0. Phương pháp giải: Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0). Tính giới hạn trái: Tính giới hạn phải: Bước 2: Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái tại x0. Nếu L = L2 thì hàm số liên tục bên phải tại x0. Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0. (Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0) * Đối với bài toán tìm m để hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Tìm m. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1. Lời giải Ta có: f(- 1) = = 2. (-1) + 3 = 1
Ta thấy Vậy hàm số gián đoạn tại x = - 1. Ví dụ 2: Cho hàm số: Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1 Lời giải Ta có: Khi đó: Hay: (vì x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1)) Ta có: f(1) = m
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì Khi đó: 1 = m = - 1 (vô lý) Vậy không tồn tại m để hàm số liên tục tại x = 1. Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng Phương pháp giải: Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao Bước 3: Kết luận. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số Xét sự liên tục của hàm số. Lời giải Hàm số xác định và liên tục trên (−∞;1) và (1;+∞). Xét tính liên tục tại x = 1 f(1) = 2.1 = 2.
Ta thấy nên hàm số liên tục tại x = 1. Vậy hàm số liên tục trên . Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm m để hàm số liên tục trên [0;+∞). Lời giải Với x ∈ (0;9): xác định và liên tục trên (0;9). Với x ∈ (9;+∞): xác định và liên tục trên (9;+∞). Với x = 9, ta có và Ta thấy nên hàm số liên tục tại x = 9. Với x = 0 ta có f(0) = m.
Để hàm số liên tục trên [0;+∞) thì hàm số phải liên tục tại x = 0
Vậy thì hàm số liên tục trên [0;+∞) . Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp giải: Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b). Chú ý: Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm trên . * Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm. - Tìm hai số a và b sao cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0. - Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (a;b) * Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm - Tìm k cặp số ai; bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và f(ai).f(bi) < 0; i = 1; 2; … k. - Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xi ∈ ( ai;bi ). Khi đó f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Phương trình: có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).
Lời giải
Ta có: Ta thấy: f(- 1).f(0) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (- 1; 0) f(0).f(½) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;½) f(½).f(1) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (½;1) f(1).f(3) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 3) Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng (-1; 3). Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm. Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).
Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 liên tục trên . Ta có f(- 2) \= - 3, f(0) \= 1, f(1) \= - 3, f(2) \= 5. Ta thấy: f(- 2).f(0) \= - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t1 ∈ (−2;0). Khi đó x1 = 1 − t13,x1 ∈ (1;9). f(0).f(1) \= - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t2 ∈ (0;1). Khi đó x2 = 1 − t23,x2 ∈ (0;1). f(1).f(2) \= - 15 < 0, phương trình có một nghiệm t3 ∈ (1;2). Khi đó x3 = 1 − t33,x3 ∈ (-7;0). Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 2). Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc (-2; 2). Vậy phương trình có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-7; 9). Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Lời giải Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 Ta có: f(0) = - 1 và f(-1) = m2 + 1 nên f(−1).f(0) = −(m2 + 1) < 0,∀m ∈ Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1; 0] Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0). Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng nhất
Câu 2. Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng nhất:
Câu 3. Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng nhất
Câu 4. Cho hàm số Chọn câu đúng trong các câu sau: (I) f(x) liên tục tại x = 2. (II) f(x) gián đoạn tại x = 2. (III) f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2].
Câu 5. Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
Câu 6. Tìm m để các hàm số liên tục trên .
Câu 7. Tìm m để các hàm số liên tục trên .
Câu 8. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.
Câu 9. Cho hàm số Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:
Câu 10. Cho hàm số Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: (I). f(x) liên tục tại (II). f(x) gián đoạn tại (III). f(x) liên tục trên R
Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
II. f(x) không liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) ≥ 0 thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.
Câu 12. Cho phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng (- 2; 2) là:
Câu 14. Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Câu 15. Cho hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Bảng đáp án 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A C B A B B B A D C A D D B B Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:
Săn SALE shopee tháng 12:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
