Loading Preview
Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.
Một trong những dạng cơ bản của phương trình vi phân thường là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, bài viết này sẽ giải quyết bài toán về phương trình vi phân tuyến tính này. Đây là một môn học mình bị ác cảm chính vì thế nên mình mặc định là không hiểu nổi gì, nhiều khi nghĩ lại thấy hiểu một vấn đề hay không còn phụ thuộc vào niềm tin. Nhưng không sao, đâu cũng vào đó kakaka. OK Let's go!
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân có dạng: $y'+p[x]y=q[x]$
Trước khi xử lý thằng này thì ta sẽ xử lý thằng đệ của nó, là một trường hợp đặc biệt khi $q[x]=0$ mà người ta gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. [Mẹo: cứ thêm chữ thuần nhất là vế phải bằng 0]
Dạng. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất có dạng: $$y'+p[x]y=0 \quad [1]$$
Phương pháp giải.
Cách 1. Biến phân ly [Tách biến]
Nếu để ý một chút thì $[1]$ là phương trình vi phân tách biến [hay biến phân ly]. Cách làm đối với phương pháp này là tách mỗi biến về mỗi vế của phương trình.
Ta biến đổi một chút
$$\begin{aligned}[1]&\Leftrightarrow\ y'=-p[x]y\\&\Leftrightarrow \dfrac{dy}{dx}=-p[x]y\\ &\Leftrightarrow \dfrac{dy}{y}=-p[x]dx \end{aligned}$$
Tới đây ta lấy tích phân hai vế lên:
$$\begin{aligned}&\int\dfrac{dy}{y}=\int-p[x]dx+C_1\\ &\Leftrightarrow \ln|y|=\int-p[x]dx +C_1 \\ &\Leftrightarrow y=e^{\int-p[x]dx+C_1}\\ &\Leftrightarrow y=e^{C_1}e^{\int-p[x]dx}\\ &\Leftrightarrow y=Ce^{\int-p[x]dx} \quad [C=e^{C_1}=const]\end{aligned}$$
Lưu ý một chút là việc lựa chọn hằng số như thế nào không quan trọng, thông thường ta sẽ chọn sao cho gọn nhất, như trên $e^{C_1}$ là một hằng số phụ thuộc $C_1$, ta có thể đặt $C=e^{C_1}$ mà không sợ ảnh hưởng kết quả.
Tới đây ta rút ra được công thức nghiệm tổng quát của $[1]$ là:
$$\boxed{y=Ce^{\int-p[x]dx}} \quad [2]$$
Hãy nhớ công thức trên để có thể làm dạng toán này một cách dễ dàng. Ta đi qua một ví dụ.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y'-\dfrac{2x}{1+x^2}y=0$$
Giải.
Giải trực tiếp
$$\begin{aligned} &y'-\dfrac{2x}{1+x^2}y=0\\ \Leftrightarrow & \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{1+x^2}y\\ \Leftrightarrow & \dfrac{dy}{y}=\dfrac{2xdx}{1+x^2}\\ \Leftrightarrow &\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{2xdx}{1+x^2}+C_1\\ \Leftrightarrow &\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{d[1+x^2]}{1+x^2}+C_1\\ \Leftrightarrow &\ln|y|=\ln[1+x^2]+C_1\\ \Leftrightarrow &y=e^{C_1}[1+x^2]\\ \Leftrightarrow &y=C[1+x^2] \quad [C=e^{C_1}] \end{aligned}$$
Nếu áp dụng ngay công thức $[2]$ thì sẽ tiết kiệm được thời gian hơn. Với ví dụ trên thì $p[x]=-\dfrac{2x}{1+x^2}$. Khi đó:
$$\begin{aligned} y&=Ce^{\int-p[x]dx}\\ y&=Ce^{\int\frac{2x}{1+x^2}dx}\\ y&=Ce^{\int\frac{d[1+x^2]}{1+x^2}}\\ y&=Ce^{\ln[1+x^2]}\\ y&=C[1+x^2] \end{aligned}$$
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: $y=C[1+x^2]$
Ý tưởng phương pháp này là sẽ đưa vế trái của $[1]$ về dạng vi phân toàn phần của một hàm nào đó tức là có dạng $u'=0$. Khi ấy chỉ cần lấy tích phân hai vế nữa là xong. Tuy nhiên không phải lúc nào vế trái cũng là vi phân toàn phần của một hàm nào đó, muốn có vậy ta phải thêm bớt một đại lượng mà ở đây người ta gọi là thừa số tích phân.
Đối với phương pháp này chỉ cần nhớ mỗi cái thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$. Thế là xong! Ở đây đang xét trong thuần nhất [tức $q[x]=0$], sau không thuần nhất [$q[x]\ne 0$] thì với thằng $e^{\int p[x]dx}$ cũng giải vô tư. Còn các cách khác để mình biết thêm, chứ chỉ cần nhớ mỗi thằng $e^{\int p[x]dx}$ là đủ xử tử dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp một rồi.
Ta nhân hai vế của $[1]$ với thằng đệ nhắc đến ở trên $e^{\int p[x]dx}$ ta được:
$$\begin{aligned} &y'+p[x]y=0\\ &y'e^{\int p[x]dx}+p[x]ye^{\int p[x]dx}=0\\ \end{aligned}$$
Khi đó vế trái là vi toàn phần của một hàm, tức là vế trái có thể viết lại dưới dạng $[ye^{\int p[x]dx}]'$. Xem $y$ là hàm theo $x$. Nếu tính $[ye^{\int p[x]dx}]'$ cụ thể sẽ ra ta sẽ được vế trái.
Như vậy ta sẽ có là:
$$\begin{aligned} &[ye^{\int p[x]dx}]'=0\\ &ye^{\int p[x]dx}=C\\ &y=Ce^{\int -p[x]dx} \end{aligned}$$
Cuối cùng ta cũng dẫn đến công thức $[2]$.
Tới đây có thể các bạn thắc mắc ủa tại sao phải nhân cho thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$ mà không nhân cho thằng khác, rồi làm sao biết thằng đệ này ở đâu ra mà tin dùng nó? Có một phần lý thuyết nói về phương pháp sử dụng thừa số tích phân này và cách tìm thừa số tích phân như thế nào. Các bạn có thể tỉm thêm trong sách, đối với dạng tuyến tính này thì thừa số tích phân luôn là $e^{\int p[x]dx}$, nên cứ rơi vào tuyến tính thì gọi thằng đệ vào chắc chắn sẽ giải quyết được vấn đề. Mình thì hay quên công thức, nên cứ quên thì thay thằng đệ này vào nháp nháp là nhớ lại ngay.
Thử ví dụ trên cho cách này.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y'-\dfrac{2x}{1+x^2}y=0$$
Giải.
Với đề trên thì $p[x]=-\dfrac{2x}{1+x^2}$
Đầu tiên ta phải tìm thừa số tích phân là thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$
$$\begin{aligned}&e^{\int p[x]dx}=e^{\int -\frac{2x}{1+x^2}dx}\\=&e^{-\int\frac{d[1+x^2]}{1+x^2}}=e^{-\ln[1+x^2]}\\=&e^{\ln[1+x^2]^{-1}}=\frac{1}{1+x^2}\end{aligned}$$
Giờ ta chỉ cần nhân vào hai vế với $\dfrac{1}{1+x^2}$
$$\begin{aligned}&y'\times\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{2x}{1+x^2}y\times\dfrac{1}{1+x^2}=0\\\Leftrightarrow &\dfrac{1}{1+x^2}y'-\dfrac{2x}{[1+x^2]^2}y=0\\\Leftrightarrow &\bigg[ \dfrac{y}{1+x^2}\bigg]'=0\\\Leftrightarrow &\ \dfrac{y}{1+x^2}=C\\\Leftrightarrow &\ y=C[1+x^2]\end{aligned}$$
Tóm lại: Đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất, ta có thể giải rất bình thường bằng cách đưa về phương trình vi phân tách biến [biến phân ly], ta cũng có thể giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp thừa số tích phân, lúc đó thì chỉ nhớ tới thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$.
Qua phần này thì hãy nhớ dạng phương trình vi phân $y'+p[x]y=0$ thì có nghiệm tổng quát là $y=Ce^{\int -p[x]dx}$
Trước khi xử lý thằng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất [ở phần thứ 2] thì hãy cùng làm vài bài tập nhỏ để quen với dạng vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Bài tập
Sau đây là một số bài tập về phương trình tuyến tính cấp 1 có lời giải
Bài tập 1: Tìm tích phân tổng quát [hay nghiệm tổng quát] của phương trình sau:
$$y'+\dfrac{4x}{4+x^2}y=0$$
Bài tập 2: Tìm tích phân tổng quát [hay nghiệm tổng quát] của phương trình sau:
$$y'-xy=0$$
Hãy để lại cảm nhận hay bổ sung thêm cho bài viết dưới phần comment nhé!
Shortlink: //wp.me/P8gtr-MY
1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:
[1] [hay ]
trong đó p[x], q[x] là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q[x] ≡ 0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q[x] ≠0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Cách giải:
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của [1] với thừa số
Ta được:
[*]
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số . Vậy ta viết lại phương trình [*] như sau:
Lấy tích phân hai vế ta được:
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Lưu ý: hàm p[x] là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
Ví dụ: Giải phương trình
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số .
Ta đươc:
Hay:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli [pp tìm nghiệm dưới dạng tích]
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Hay: [*]
Phương trình [*] có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình [*], ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u[x] sao cho [**]
Ta dễ dàng tìm được hàm u[x] thỏa [**] vì [**] chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có:
Như vậy ta tìm được hàm u[x] nên từ [*] ta sẽ có:
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange [pp biến thiên hằng số]
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u[x] là nghiệm phương trình [**] – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình [1] lại là: chỉ sai khác so với u[x] ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v[x].
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v[x] sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình [1]:
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất [1] có dạng:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: . Từ đó tìm được v[x].
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v[x], ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v[x] và chỉ còn lại v'[x]. Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v[x] thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.