Phép tịnh tiến là một trong những phép được ứng dụng rất nhiều trong các bài tập toán hình học. Thế nhưng rất nhiều học sinh nhầm lẫn và hiểu sai về phép dời hình này. Bài viết sau đây jenincity.com sẽ gửi đến bạn kiến thức cũng như những dạng bài tập liên quan đến phép tịnh tiến. Các bạn hãy cùng theo dõi nhé!
Định nghĩa về phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng cho vector v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho vecto MM’ bằng vectơ. được gọi là phép tịnh tiến theo vector v
Phép tịnh tiến theo vector – không là phép đồng nhất.
Bạn đang xem: Bài tập về phép tịnh tiến
Hãy theo dõi video sau đây để hiểu hơn về phép tịnh tiến nhé!
Các tính chất của phép tịnh tiến
Dưới đây là những tính chất của phép tịnh tiến:
* Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ BC.
Hướng dẫn giải:
Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE.
Hệ quả:
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng.
Biến 1 tia thành 1 tia.
Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó [Nếu vecto chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vecto tịnh tiến thì biến đường thẳng thành đường thẳng trùng với nó; nếu vecto tịnh tiến không cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng thì biến thành đường thẳng song song].
Biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó [trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng].
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Biểu thức tọa độ của của phép tịnh tiến được xác định như sau:
Một số dạng bài tập về phép tịnh tiến và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng d qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .
1] Tìm ảnh của đường thẳng d qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .
Phương pháp:
+ Lấy M trên d
+ Tìm ảnh M’ của M
+ d’ là đường thẳng qua M’ và song song hoặc trùng d.
2] Tìm tạo ảnh của đường thẳng d qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .
Phương pháp:
+ Lấy M’ trên d’.
+ Tìm M sao cho M’ là ảnh của M.
+ d là đường thẳng qua M và song song hoặc trùng d.
Dạng 2. Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua một phép tịnh tiến
1] Tìm ảnh của đường tròn [C] qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .
Phương pháp
+ Tìm tâm I và bán kính R’ của đường tròn [C].
+ Tìm ảnh I’ của I qua phép tịnh tiến này.
+ Đường tròn [C’] là ảnh của [C] là đường tròn có tâm I’ và bán kính .
Ví dụ. Cho đường tròn [C] có tâm I [-2; 3] và bán kính . Viết phương trình đường tròn [C] là ảnh của [C] qua phép tịnh tiến theo vectơ u [2; -3].
Lời giải.
[C] có tâm I [-2; 3] và bán kính R = 5
Dạng 3. Tìm ảnh, tạo ảnh của một đường cong [khác các dạng trên] qua một phép tịnh tiến
1] Tìm ảnh của một đường cong [P] qua một phép tịnh tiến theo u [a; b]
Phương pháp
2] Tìm tạo ảnh của một đường cong [P] qua một phép tịnh tiến theo vectơ u [a; b]
Dạng 4. Xác định phép tịnh tiến
Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol [Q] thành parabol [P], theo vectơ u [1;1].
Các bài toán chứng minh
Phương pháp thực hiện:
Để giải loại bài toán này, ta thường thực hiện theo hai bước:
– Bước 1: Thực hiện một phép dời hình thích hợp.
– Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép dời hình đó để giải quyết yêu cầu của bài toán.
Việc chọn vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến hoặc tâm quay O của phép quay phụ thuộc vào giả thiết của bài toán. Thường thì trong dữ kiện bài toán hoặc trong tính chất của hình đòi hỏi phải thiết lập hoặc điều kiện đòi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến một phép dời hình nào đó.Từ đó, ta vận dụng để giải quyết bài toán.
Các bài toán quỹ tích
Phương pháp thực hiện:
Giả sử ta cần tìm quỹ tích những điểm M có tính chất a. Với một phép dời hình f nào đó, mỗi điểm M có tính chất a sẽ biến thành điểm M’ có tính chất a’ và ngược lại, mỗi điểm M’ có tính chất a’ sẽ biến thành điểm M có tính chất a. Việc tìm quỹ tích những điểm M’ có tính chất a’ thường dễ dàng hơn so với trực tiếp tìm quỹ tích điểm M. Khi đó, nếu quỹ tích những điểm M’ là hình [H’] thì quỹ tích điểm M sẽ là hình [H], tạo ảnh của hình [H’] qua f.
Khi dùng phép dời hình để giải bài toán quỹ tích, ta chỉ cần làm phần thuận vì phép dời hình là phép biến đổi 1-1. Và để tìm quỹ tích những điểm M, ta thực hiện theo 2 cách:
Cách 1:
– Bước 1: Chỉ ra phép dời hình thích hợp biến điểm M’ thành điểm M.
– Bước 2: Xác định được quỹ tích những điểm M’[dễ dàng].
– Bước 3: Suy ra quỹ tích những điểm M là ảnh của quỹ tích những điểm M’ qua phép dời hình nói trên.
Cách 2:
– Bước 1: Bằng thực nghiệm, ta dự đoán về đường cong quỹ tích. [Dựng một số
hữu hạn điểm M là điểm di động mà ta cần tìm quỹ tích, thông thường nếu thực nghiệm 3 điểm di động của M nếu thấy 3 ảnh M’ thẳng hàng thì dự đoán quỹ tích là đường thẳng, nếu 3 ảnh M’ không thẳng hàng thì quỹ tích thường là đường tròn]. Giả sử đó là đường cong [C].
– Bước 2: Xác định đường cong [C’] sao cho tồn tại một phép dời hình f biến [C’] thành [C].
Xem thêm: Lý Thuyết Toán 11 Bài 1 Lý Thuyết Toán Lớp 11 Đại Số, Hình Học Chi Tiết
– Bước 3: Xét điểm M thuộc [C], ta thử xác định M’ là tạo ảnh của M qua phép dời hình f, nếu thành công thì bài toán được giải quyết. Ngược lại, ta thử một dự đoán khác.
Qua bài viết trên bạn đã hiểu về phép tịnh tiến cũng như những dạng bài tập về phép tịnh tiến rồi đúng không? Phép tịnh tiến là một phép dời hình quan trọng được ứng dụng rất nhiều trong các bài tập toán. Vì vậy bạn hãy lưu ý những kiến thức trên nhé!
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép tịnh tiến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép tịnh tiến: PHÉP TỊNH TIẾN. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Khi đẩy một cánh cửa trượt sao cho chốt của dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy từng điểm của cánh cửa cũng được dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B. Khi đó ta nói cánh cửa được tình tiến theo vectơ AB. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho vectơ v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM’ = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v. Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được ký hiệu là T được gọi là vectơ tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo vectơ. không chính là phép đồng nhất. Phép tịnh tiến Tbiến các điểm A, B, C tương ứng thành các điểm A, B, C. Phép tịnh tiến T biển hình H thành hinh. Tính chất. Tính chất. Nếu T[M] = M, T[N] = N’ thì M’N’ = MN và từ đó suy ra M’N’ = MN. Nói cách khác, phép tính tiền bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Từ tính chất 1 ta chứng minh được tính chất sau. Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Biểu thức tọa độ trong mặt phẳng Oxy cho điểm M[x; y] và vectơ v = [a; b]. Gọi M [x; y] = T[M]. Ta có: Đây là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ v. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP. Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến. Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho v = [2; -1] và đường thẳng d có phương trình 5x + 3y – 1 = 0. Thế x, y vào phương trình của đó. Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 3y – 8 = 0. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn [C] có phương trình x + y – 4x + 2y – 4 = 0. Tìm ảnh của [C] qua phép tịnh tiến theo vectơ v = [3; 2]. Cách 1. Biểu thức tọa độ của T là y = y’- 2. Thay vào phương trình của [C]. Vậy ảnh của [C] qua T là: [C]:x + y2 – 10x – 2y + 17 = 0. Cách 2. Đường tròn có tâm I[2; -1] và bán kính r = 3. Ảnh I’ = T[I] có tọa độ [5; 1]. Đường tròn ảnh [C] có tâm I[1; 1] và bán kính r’ = r = 3 nên có phương trình: [x – 5] + [y – 1] = 92x + y – 10x – 2y + 17 = 0. Dạng 2. Dùng phép tịnh tiến để tìm tập hợp điểm di động. Phương pháp giải: Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến. Ví dụ: Cho đường tròn [C] qua điểm A cố định và có bán kính R không đổi. Một đường thẳng d có phương không đổi đi qua tâm I của [C]. Đường thẳng d cắt [C] tại hai điểm M và M. Tìm tập hợp các điểm M và M’. Tập hợp các điểm I là đường tròn [I], tâm A, bán kính R. Vì IM có phương không đổi [phương của d] và IM = R [không đổi] nên IM=v [vectơ hằng]. Do đó: M = T [I]. Vậy, tập hợp điểm M là đường tròn [I], ảnh của [1] qua T. Tương tự, IM’ = -v nên M’ = T [I]. Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn [I”] ảnh của [I] qua T. Dạng 3. Dùng phép tịnh tiến để dựng hình Phương pháp giải: Muốn dựng một điểm, N chẳng hạn, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Xác định điểm M và phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho T [M] = N. Bước 2. Tìm cách dựng điểm M rồi suy ra N. Ví dụ: Cho hai điểm cố định A, B phân biệt và hai đường thẳng d, d, không song song với nhau. Giả sử điểm M thuộc d và điểm N thuộc d, sao cho ABMN là hình bình hành. Hãy dựng điểm N. Giả sử bài toán đã giải xong, ta có M c d , Ned, và ABMN là hình bình hành. Vì ABMN là hình bình hành nên NM = AB, suy ra M = TAB [N]. Gọi d’ là ảnh của dã qua TB thì M = dody’. Cách dựng M: Dựng d = TAB[d]. Gọi d = M , M là điểm phải dựng. Vì d, không song song với du [giả thiết] nên d’ cắt d tại một điểm duy nhất. Bài toán luôn luôn có một lời giải. Để dựng N, ta dựng ảnh của M trong TP.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho đường thẳng d. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành chính nó? Vectơ tịnh tiến có giá song song với d. Câu 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d”. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng do? Vì phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó. Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d”. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng do? Vectơ tịnh tiến có giá không song song với d. Câu 4. Cho hai đường thẳng song song a và ao, một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến đường thẳng c thành chính nó? Giả sử c cắt a và ao tại A và A’. Vectơ tịnh tiến phải là AA’. Câu 5. Cho bốn đường thẳng a, b, ao, bỏ trong đó a || a’, b || b’ và a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến mỗi đường thẳng b và bỏ thành chính nó? Giả sử b cắt a tại A và A”. Vectơ tịnh tiến phải là AA’.