Bài tập về hàm mật độ xác suất năm 2024

Giả sửΩlà một tập khác rỗng nào đó, ta kí hiệu 2 Ωtập tất cả các tập con củaΩbao gồm cả tập rỗng∅vàΩ. Giả sửAlà một tập con của 2 Ω.

Định nghĩa 1. A được gọi là một đại số nếu

1. ∅ ∈A và Ω∈A ; 2. Nếu A∈A thì Ac=Ω\A∈A ; 3. A đóng đối với phép giao và phép hợp hữu hạn: tức là, với mọi A 1 ,...,An∈A , ta có ∪ni= 1 Ai và ∩ni= 1 Ai đều thuộc A_._

A được gọi là một σ-đại số nếu nó thỏa mãn điều kiện 1 , 2 và

4. A đóng đối với phép giao và phép hợp đếm được: tức là, với mọi dãy Ai,i= 1 , 2 ,... các phần tử của A , ta có ∪i≥ 1 Ai và ∩i≥ 1 Ai đều thuộc A_._ Dễ thấy mọiσ-đại số đều là đại số. Tuy nhiên tồn tại các đại số mà không phải làσ-đại số.

Ví dụ 1. Giả sử Ω là một tập gồm vô hạn phần tử và A là họ tất cả các tập con A của Ω sao cho A hoặc Ω\A chỉ có hữu hạn phần tử. Khi đó A là đại số nhưng không phải σ -đại số.

4

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 6

[2’] Với mọiA,B∈Athỏa mãnA∩B=∅ta có P[A∪B]=P[A]+P[B]

thì ta gọiPlà độ đo hữu hạn cộng tính.

Mệnh đề 1. Nếu P là độ đo xác suất trên [Ω,A] thì

1. P[∅]= 0 ; 2. P là hữu hạn cộng tính; 3. P[Ac]= 1 −P[A] vói mọi A∈A ; 4. Nếu A,B∈A và A⊂B thì P[A]≤P[B] ;

Tính hữu hạn cộng tính không kéo theo đếm được cộng tính. Tuy nhiên ta có các khẳng định sau. 1

Định lí 1. Giả sử A là một σ -đại số và P:A→[0,1] thỏa mãn P[Ω]= 1 và là hữu hạn cộng tính. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

[i] P là đếm được cộng tính; [ii] Nếu An∈A và An↓ ∅ thì P[An]↓ 0 ; [iii] Nếu An∈A và An↓A thì P[An]↓P[A] ; [iv] Nếu An∈A và An↑Ω thì P[An]↑ 1 ; [v] Nếu An∈A và An↑A thì P[An]↑P[A].

Chứng minh. Kí hiệuAn↓Anghĩa làAn+ 1 ⊂Anvới mọinvàA=∩nAn. Tương tựAn↑A nghĩa làAn⊂An+ 1 vàA∪nAn. Ta sẽ lần lượt chứng minh

[i]⇔[v]⇒[iii]⇒[ii]⇒[iv]⇒[v]. 1 Định lí sau nên được bỏ qua ở những lần đọc đầu tiên

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 7

[i]⇒[v]: Giả sửAn↑A. Xét dãy biến cốB 1 =A 1 vàBn=An+ 1 \Anvới mọin≥ 2. Khi đó [Bn]là dãy biến cố đôi một rời nhau vàA=∪∞n= 1 BnvàAn=∪nk= 1 Bk. Do đó

P[A]=P[∪k≥ 1 Bk]=

∑∞

k= 1

P[Bk].

Vậy nên

P[An]=

∑n k= 1

P[Bk]↑

∑∞

k= 1

P[Bk]=P[A]. [v] ⇒ [i]: Giả sử[An]n≥ 1 là dãy biến cố đôi một xung khắc. ĐặtBn = ∪nk= 1 Ak. Ta có Bn↑ ∪∞k= 1 Ak. Do đó

P[∪∞k= 1 Ak]=nlim→∞P[Bn]=nlim→∞

∑n k= 1

P[Ak]=

∑∞

k= 1

P[Ak].

[v]⇒[iii]: Giả sửAn↓A. ĐặtBn=Acn. VìBn↑AcnênP[Bn]↑P[Ac]. Do đó P[An]= 1 −P[Bn]↓ 1 −P[Ac]=P[A]. [iii]⇒[ii]là hiển nhiên. [ii]⇒[iv]: Giả sửAn↑Ω, khi đóAcn↓ ∅nênP[Acn]↓ 0. Do đóP[An]= 1 −P[Acn]↑ 1. [iv]⇒[v]: Giả sửAn↑A. Xét dãy biến cốBn=An∪Ac. Ta cóBn↑ΩnênP[Bn]↑ 1. Do đó P[An]=P[Bn]−P[Ac]↑ 1 −P[Ac]=P[A].  Với mỗiA∈ 2 Ω, ta kí hiệu hàm chỉ tiêu của tậpAbởi

IA[w]=



1 nếuw∈A, 0 nếuw 0_. Khi đó xác suất để biến cố A xảy ra biến rằng biến cố_ B đã xảy ra là

P[A|B]=PP[AB[B]].

Từ định nghĩa xác suất điều kiện ta suy ra công thức nhân xác suất sau

P[AB]=P[A|B]P[B].

Định nghĩa 1. Hệ các biến cố {A 1 ,...,An} được gọi là đầy đủ nếu nó là một phân hoạch của Ω trong A , tức là

1. Ai∩Aj=∅ với mọi i,j ;

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 10

2. ∪ni= 1 Ai=Ω_._ Giả sử{A 1 ,...,An}là một hệ đầy đủ các biến cố vớiP[Ai]> 0 với mọii. Khi đó với biến cốBbất kì ta cóP[B]=∑ni= 1 P[BAi].Áp dụng công thức nhân xác suất ta thu được công thức xác suất toàn phần sau

P[B]=

∑n i= 1

P[B|Ai]P[Ai].

Từ đây ta cũng thu được công thức Bayes

P[Ak|B]=P[B|APk[]BP][Ak]=∑nP[B|Ak]P[Ak] i= 1 P[B|Ai]P[Ai]

.

Ví dụ 1. Trong hộp có 10 lá thăm, trong đó chỉ có 1 lá trúng thưởng. Mười người chơi lần lượt lấy ra một cách ngẫu nhiên [không hoàn lại] từng lá thăm từ hộp cho đến khi có người đầu tiên lấy được lá thăm trúng thưởng thì dừng lại. Tính xác suất trúng thưởng của từng người chơi? Có nhận xét gì về kết quả thu được? Kết quả rút thăm sẽ thay đổi thế nào nếu trong 10 lá thăm có 2 lá trúng thưởng?

Ví dụ 1. Một xét nghiệm HIV cho kết quả dương tính với 90% các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với 80% các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm HIV trong một cộng đồng nào đó là 1%. Một người trong cộng đồng đó có kết quả xét nghiệm dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus. Kết quả trên thay đổi thế nào nếu tỉ lệ người nhiễm HIV trong cộng đồng là 0 .1%.

Giải: GọiDTvàATlần lượt là biến cố người đó có kết quả xét nghiệm là dương tính và âm tính. GọiBvàKlần lượt là biến cố người đó thực sự nhiễm virus và không nhiễm virus. Ta có P[B]= 1001 ,P[K]= 10099 ,P[DT|B]= 109 ,P[AT|K]= 108.

Vậy xác suất người đó thực sự bị nhiễm virus với điều kiện kết quả xét nghiệm là dương tính là P[B|DT]=P[DT|B]PP[[DTB]+|B]PP[[DTB]|K]P[K]= 1091001 1091001 + 10210099 =

123.

1 Sự độc lập

Định nghĩa 1. 1. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu

P[AB]=P[A]P[B]. [1]

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 12

Bài tập

1. Giả sử Ω là một tập hữu hạn. CMR tập tất cả các tập con của Ω cũng gồm hữu hạn phần tử và là một σ -đại số.

1. Giả sử [E,E] là một không gian đo và f:Ω→E_. Gọi_

F={f− 1 [A] :A∈E}.

CMR F cũng là một σ -đại số trên Ω_._

1. Giả sử Ω =N là tập các số tự nhiên và A là họ tất cả các tập con A của Ω sao cho A hoặc Ω\A chỉ có hữu hạn phần tử. CMR A là đại số nhưng không phải σ -đại số.

1. Giả sử Ω =[0,1] và A là họ các tập con A của Ω sao cho A có thể biểu diễn dưới dạng hợp của một số hữu hạn các nửa đoạn [a,b] với 0 ≤a 0_. Khi đó ánh xạ_ A7→P[A|B] từ A→[0,1] xác định một độ đo xác suất mới trên A , gọi là độ đo xác suất với điều kiệnB_._

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 13

1. Giả sử A,B,C∈A với P[C]> 0_. CMR_

P[A∪B|C]=P[A|C]+P[B|C]−P[AB|C].

1. Giả sử A 1 ,...,An là dãy các biến cố thuộc A thỏa mãn P[A 1 ..− 1 ]> 0_. Khi đó_

P[A 1 ..]=P[A 1 ]P[A 2 |A 1 ]..[An|A 1 ..− 1 ].

1. Hộp thứ nhất có 4 bi xanh, 6 bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 bi xanh và 7 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp rồi từ đó lấy ra 2 viên bi.

1. Tính xác suất để 2 bi lấy ra cùng có màu đỏ. 2. Biết rằng 2 bi lấy ra cùng có màu đỏ, tính xác suất để cả 2 bi đều thuộc hộp thứ nhất.

Giải: GọiAi,i= 1 , 2 là biến cố hộp thứiđược chọn. GọiBlà biến cố cả 2 bi lấy ra cùng có màu đỏ. Vì hai hộp có cùng khả năng được chọn nênP[A 1 ]=P[A 2 ]= 12 .Lại do{A 1 ,A 2 } lập thành một hệ đầy đủ nên áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta được

P[B]=P[B|A 1 ]P[A 1 ]+P[B|A 2 ]P[A 2 ]= C

26 C 210

12 +C 27C 21012 =25.

Xác suất để bi lấy ra thuộc hộp thứ nhất với điều kiện cả 2 đều có màu đỏ là

P[A 1 |B]=P[B|AP 1 []BP][A 1 ]= 125.

CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN 15

• Ω có hữu hạn phần tử;
• chuỗi ∑i|xi|pXi