Bài tập tính đơn điệu của hàm số chứa tham số
Tài liệu gồm 28 trang, tuyển chọn 50 bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m, có đáp án và lời giải chi tiết; đây là dạng bài tập vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC) thường gặp trong chương trình Giải tích 12 và đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Trích dẫn tài liệu bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m:+ Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = (2x + 1)/(x + m) nghịch biến trên khoảng (3;+vc).+ Số giá trị nguyên thuộc [-5;5] của tham số m sao cho hàm số y = (sinx – m)/(sinx + m) nghịch biến trên khoảng (0;pi/2) là?+ Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y = f(x) = (x + 2m – 3)/(x – 3m + 2) đồng biến trên khoảng (-vc;-14). Tính tổng T của các phần tử trong S.[ads]+ Cho hàm số y = (mx + 2m + m)/(x + m) với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+vc). Tìm số phần tử của S. + Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số y = f(x) = 2mx^3 – 6x^2 + (2m – 4)x + 3 + m nghịch biến trên R là?
þ Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=f\left( x;m \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn).
Chú ý: Với hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì nó đồng biến trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số. Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho các số thực không âm ${{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ thì ta có: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}>n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}$. Với hàm số lượng giác $F\left( x \right)=a\operatorname{sinx}+b\cos x+c$ thì $\left\{ \begin{array} {} MaxF\left( x \right)=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ {} MinF\left( x \right)=-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ \end{array} \right.$. Bài tập xét tính đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 có đáp án
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$ Mặt khác ${g}'\left( x \right)=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$. Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=3$. Do vậy $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=+\infty $. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x+3m$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\forall x\subset \left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g\left( x \right)\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$ Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\left( x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)=2x-2=0\Leftrightarrow x=1$ $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=-1$ nên $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=-1$ Do đó $m\le -1$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2x-m$. Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right)$ $\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$ Mặt khác ${g}'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$ Lại có $g\left( -2 \right)=0;\text{ }g\left( 0 \right)=0;\text{ }g\left( -1 \right)=-1$. Do vậy $\underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=0$ Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 4m\le 3{{x}^{2}}+12x+9\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le {{x}^{2}}+4x+3\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)\left( * \right)$ Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}+4x+3$ trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$. Ta tìm được $\underset{\left( -\infty ;-1 \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -2 \right)=-1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le -1\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{4}$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+2m+3$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)$ (Do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta mở rộng ra đoạn $\left[ 0;3 \right]$). $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\le -2m\left( x+1 \right)\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)\Leftrightarrow 2m\le \frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)$ $\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$ Ta có: ${g}'\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}-7x+7}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\xrightarrow{x\in \left[ 0;3 \right]}x=-1+2\sqrt{2}$ Mặt khác $g\left( 2\sqrt{2}-1 \right)=6-4\sqrt{2},\text{ }g\left( 0 \right)=-3,\text{ }g\left( 3 \right)=0$. Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=-3\Rightarrow 2m\le -3\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{2}$.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+12x+m+2$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty \right) \right)$ (Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy $x\in \left[ -1;+\infty \right)$). $\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+12x+2\ge -m\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$ Ta có: ${g}'\left( x \right)=6x+12>0\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty \right) \right),\text{ }g\left( -1 \right)=-7$. Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow -7\ge -m\Leftrightarrow m\ge 7$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m<20 \\ {} m\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.$ Þ có 13 giá trị của tham số m. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{3{{x}^{2}}}$ Hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{3{{x}^{2}}}\ge -m\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$. $\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$. Theo BĐT AM – GM ta có: $3{{x}^{2}}+\frac{1}{3{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{3{{x}^{2}}.\frac{1}{3{{x}^{2}}}}=2$ Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow 2\ge -m\Leftrightarrow m\ge -2$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'={{\left( -m{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+m-2 \right)}^{\prime }}=-3m{{x}^{2}}+2x-3$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -3;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {y}'\le 0 \\ {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3m{{x}^{2}}+2x-3\le 0 \\ {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge \frac{2x-3}{3{{x}^{2}}}=f\left( x \right) \\ {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.$ Ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( \frac{2x-3}{3{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2\left( 3-x \right)}{3{{x}^{3}}}>0\left( \forall x\in \left( -3;0 \right) \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -3;0 \right)$. Do đó $\underset{\left( -3;0 \right)}{\mathop{f\left( x \right)}}\,
Lời giải chi tiết Ta có ${y}'={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m-3 \right)$ Để hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -3;-1 \right)$ và $\left( 0;3 \right)$ thì ${y}'\ge 0$ với mọi $x\in \left( -3;-1 \right)$ và $x\in \left( 0;3 \right)$. Hay ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+3\ge m\left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\ge m$ với mọi $x\in \left( 0;3 \right)$ và $\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\le m$ với $x\in \left( -3;-1 \right)$. Xét ${f}'\left( x \right)={{\left( \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1} \right)}^{\prime }}=\frac{2\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\to {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$, để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;3 \right)$ thì $m\le 2$, để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;-1 \right)$ thì $m\ge -1\Rightarrow m\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=-{{x}^{2}}+2\left( a-1 \right)x+a+3$ Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ thì ${y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$ $\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2\left( a-1 \right)x+a+3\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 2ax+a\ge {{x}^{2}}+2x-3\Leftrightarrow a\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}\Leftrightarrow a\ge \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\left( * \right)$. Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}$ trên $\left( 0;3 \right)$. Ta có: ${f}'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}>0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$. Vậy $f\left( x \right)
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-4mx-m-1$ Hàm số nghịch biến biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4mx-m-1\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-1\le m\left( 4x+1 \right)\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;2 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le m\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$. Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\text{ }\left( x\in \left[ 0;2 \right] \right)$. Ta có: ${g}'\left( x \right)=\frac{6x\left( 4x+1 \right)-4\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)}{{{\left( 4x+1 \right)}^{2}}}=\frac{12{{x}^{2}}+6x+4}{{{\left( 4x+1 \right)}^{2}}}>0\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$ $\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ Ta có: $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le \text{m }\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 2 \right)=\frac{11}{9}$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Cách 1: Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-2mx+2$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)$. $\Leftrightarrow mx\le 3{{x}^{2}}+1\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge 3x+\frac{1}{x}\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -2;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$ Xét $f\left( x \right)=3x+\frac{1}{x}\text{ }\left( x\in \left( -2;0 \right) \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)=3-\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ }\left( loai \right) \\ {} x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{array} \right.$ Lại có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-13}{2},f\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)=-2\sqrt{3}$ Vậy $m\ge -2\sqrt{3}$. Chọn A. Cách 2: $f\left( x \right)=3x+\frac{1}{x}=-\left[ 3\left( -x \right)+\frac{1}{\left( -x \right)} \right]\le -2\sqrt{3}\Rightarrow \underset{\left( -2;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-2\sqrt{3}$ khi $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}$ Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ $\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge -m\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$ Lại có: $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{6}}}}=4$ (Bất đẳng thức AM – GM) Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow -m\le 4\Leftrightarrow m\ge -4$. Theo bài ta có $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)$ (Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy x trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$) $\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}\ge m-1\text{ }\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge m-1\Leftrightarrow 1\ge m-1\Leftrightarrow m\le 2$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-2{{m}^{2}}x$ Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nó đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-2{{m}^{2}}x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}\ge {{m}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le 0\Leftrightarrow m=0$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=2{{x}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)x+2\left( {{m}^{2}}-3m \right)=2\left( x-m \right)\left[ x-\left( m-3 \right) \right]<0\Leftrightarrow m-3 Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow m-3\le 1\le 3\le m\Leftrightarrow 3\le m\le 4$. Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m=\left\{ 3;4 \right\}$. Chọn C. Lời giải Ta có ${y}'={{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m-2=\left[ x-\left( m-2 \right) \right]\left[ x-\left( m+1 \right) \right]$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\le 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow \left[ x-\left( m-2 \right) \right]\left[ x-\left( m+1 \right) \right]\le 0$. $\Leftrightarrow m-2\le x\le m+1$ Với $x\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 1\Rightarrow m-2\le 1\Leftrightarrow m\le 3 \\ {} x\le 2\Rightarrow m+1\ge 2\Leftrightarrow m\ge 1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1\le m\le 3$. Suy ra có ba giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x+2m \right)}^{2}}+3\ge 0$ (Luôn đúng). Ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3} \right)}^{\prime }}=\frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$, khi đó ${y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)$ Suy ra $x+2m\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\le -\frac{x}{2}\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\le \frac{-2}{2}=-1$. Chọn A.
Lời giải Ta có ${y}'={{\left[ {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+1 \right]}^{\prime }}=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)$. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 PT ${y}'=0$ là hai nghiệm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$. Hàm số có hai cực trị, khi đó $\text{Δ'}\left( {{y}'} \right)>0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9\left( 2m-1 \right)>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$. Khi đó $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}\text{+ }{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left( 2m-1 \right)=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2mx+3-2m$. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ khi phương trình ${{x}^{2}}-2mx+3-2m=0\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi $\text{Δ'}={{m}^{2}}+2m-3>0$ Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3-2m \\ \end{array} \right.$ Ta có: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=20\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m-12=20\left( t/m \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=-2$. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${y}'=\cos x-b$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \cos x-b\le 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge \cos x\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge 1$. Chọn D.
Lời giải Ta có: ${y}'=2\cos 2x+m$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-2+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2$. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=m\cos x-\sin x+m+1$.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$. $\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-\sqrt{{{m}^{2}}+1}+m+1\ge 0\Leftrightarrow m+1\ge \sqrt{{{m}^{2}}+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge -1 \\ {} {{m}^{2}}+2m+1\ge {{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.$
Lời giải Ta có: ${y}'=m-3+\left( 2m+1 \right)\sin x$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ $\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,{y}'=m-3+\left| 2m+1 \right|\le 0\Leftrightarrow 3-m\ge \left| 2m+1 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 3 \\ {} {{\left( 3-m \right)}^{2}}\ge {{\left( 2m+1 \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 3 \\ {} 3{{m}^{2}}+10m-8\le 0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow -4\le m\le \frac{2}{3}$. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+3\left( {{m}^{2}}+4m \right)=3\left( x-m \right)\left( x-m-4 \right);\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=m \\ {} x=m+4 \\ \end{array} \right.$. Do đó phương trình ${y}'=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt Bảng biến thiên Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 1;3 \right]$ thì $\left\{ \begin{array} {} m\le 1 \\ {} m+4\ge 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 1 \\ {} m\ge -1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 1$. Chọn C.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-12mx+12{{m}^{2}}-3=3\left( x-2m+1 \right)\left( x-2m-1 \right);\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2m+1 \\ {} x=2m-1 \\ \end{array} \right.$. Do đó phương trình Bảng biến thiên Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ thì $\left\{ \begin{array} {} 2m-1\le 0 \\ {} 2m+1\ge 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le \frac{1}{2} \\ {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le \frac{1}{2}$. Chọn D.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3m\left( 3m-2 \right)=3\left( x+m \right)\left[ x-\left( 3m-2 \right) \right]<0$ Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2;4 \right)$ thì: TH1: $-m\le 2<4\le 3m-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge -2 \\ {} m\ge 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 2$. TH2: $3m-2\le 2<4\le -m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le -4 \\ {} m\le \frac{4}{3} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le -4$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 36 giá trị nguyên của m. Chọn B.
Lời giải Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {y}'=6\left( {{x}^{2}}-m\left( x+1 \right)x+m \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty \right) \right)$ $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-m \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow 2\ge m$. Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}$. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+12m\ge 0\text{ }\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m\ge 0$. Giả thiết $\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-2 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow x-m\ge 0\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow 3\ge m$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 14 giá trị của m. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$. Ta có: ${y}'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( x-m-1 \right)\left( x-m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge m+1 \\ {} x\le m-1 \\ \end{array} \right.$. Do vậy hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;m-1 \right]$ và $\left[ m+1;+\infty \right)$ Để hàm số đã cho đồng biến trên x$\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m+1\le 0\Leftrightarrow m\le -1$ .Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 20 giá trị nguyên của m. Chọn D.
Lời giải Ta có: ${y}'=-4{{x}^{3}}+8\left( 3m-2 \right)x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$. $\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+8\left( 3m-2 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( 3m-2 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)$ (Do $-4x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)$) $\Leftrightarrow 2\left( 3m-2 \right)\le {{x}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)\Leftrightarrow 2\left( 3m-2 \right)\le \underset{\left( -\infty ;-2 \right)}{\mathop{\min }}\,{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow 3m-2\le 2\Leftrightarrow m\le \frac{4}{3}$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 22 giá trị của m. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( 2m+3 \right)x$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$. $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left( 2m+3 \right)x\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 2m+3\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Leftrightarrow 2m+3\ge 9\Leftrightarrow m\ge 3$ Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 8 giá trị của m. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-8\left( {{m}^{2}}-5 \right)x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$. $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-8\left( {{m}^{2}}-5 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty \right) \right)$. $\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\le {{x}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\le 9\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{19}{2}$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}$. Chọn D. |