Bài tập sin cos tan lớp 9

Cho góc nhọn $\alpha $, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc $\alpha $, kẻ đường vuông góc với cạnh kia:

Khi đó:

• sin$\alpha $ = $\frac{Cạnh đối}{Cạnh huyền}=\frac{AB}{BC}$
• cos$\alpha $ = $\frac{Cạnh kề}{Cạnh huyền}=\frac{AC}{BC}$
• tan$\alpha $ = $\frac{Cạnh đối}{Cạnh kề}=\frac{AB}{AC}$
• cot$\alpha $ = $\frac{Cạnh kề}{Cạnh đối}=\frac{AC}{AB}$

Nhận xét: Vì độ dài của các cạnh trong một tam giác vuông đều dương và hai cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền nên 0 < sin$\alpha $ < 1, 0 < cos$\alpha $ < 1; tan$\alpha $ > 0; cot$\alpha $ > 0.

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

• Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau [có tổng số đo bằng $90^{0}$] thì: sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Trên hình: sinB = cosC; cosB = sinC

                 tanB = cotC; cotB = tanC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại C, có BC = 1,2; CA = 0,9. Tính cá tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại C, ta có:

$AB^{2}=BC^{2}+CA^{2}=1,2^{2}+0,9^{2}=1,5^{2}$ => AB = 1,5

Ta có:

• tanB = $\frac{CA}{CB}$ = $\frac{0,9}{1,2}$ = $\frac{3}{4}$
• cotB = $\frac{CB}{CA}$ = $\frac{1,2}{0,9}$ = $\frac{4}{3}$
• sinB = $\frac{CA}{AB}$ = $\frac{0,9}{1,5}$ = $\frac{3}{5}$
• cosB = $\frac{CB}{AB}$ = $\frac{1,2}{1,5}$ = $\frac{4}{5}$

Vì góc A và góc B phụ nhau, nên:

• cotA = tanB = $\frac{3}{4}$
• tanA = cotB = $\frac{4}{3}$
• sinA = cosB = $\frac{4}{5}$
• cosA = sinB = $\frac{0,9}{1,5}$ = $\frac{3}{5}$

3. Một số hệ thức cơ bản

• $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$         
• $cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$
• $tan\alpha .cot\alpha =1$                                 
• $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$
• $tan^{2}\alpha +1=\frac{1}{cos^{2}\alpha }$     
• $cot^{2}\alpha +1=\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

4. So sánh các tỉ số lượng giác 

Cho $\alpha ;\beta $ là hai góc nhọn. Nếu $\alpha cos63$^{0}$15'

c, Vì 73$^{0}$20' < 45$^{0}$ nên tan73$^{0}$20' < tan45$^{0}$

d, Vì 20$^{0}$ < 37$^{0}$40' nên cot20$^{0}$ > cot37$^{0}$40'

Xin chia sẻ cùng các bạn một số bài tập tỉ số lượng giác lớp 9. Một điều lưu ý là Ở lớp 9 chỉ xét tỉ số lượng giác của góc nhọn, vì vậy tất cả các bài toán trong chuyên đề khi nói đến tỉ số lượng giác của góc α ta hiểu α là góc nhọn hãy cùng tham khảo với onthihsg nhé.

Cho góc nhọn α [ 0° < α < 90°].

Dựng tam giác ABC vuông tại A sao cho α = ∠ABC. Từ đó, ta có:

Ta có cách nhớ như sau:

sin đi học [đối/huyền]

cos không hư [kề/huyền]

tan đoàn kết [đối/kề] hay tg

cot kết đoàn [kề/đối] hay cotg

Ví dụ:

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = β. Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc β.

Hướng dẫn:

Trước hết ta nên vẽ hình ra cho dễ nhìn ra đâu là cạnh huyền, cạnh đối và cạnh kề.

Bây giờ ta sẽ viết các tỉ số lượng giác của góc C:

Sau đây là những tính chất quan trọng của tỉ số lượng giác mà ta cần phải nhớ:

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo là 90 độ. Ví dụ : góc 30 và góc 60 độ là hai góc phụ nhau.

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Khi mới học, ta sẽ gặp các góc đặc biệt như 0, 30, 45, 60, 90 độ. Việc nhớ được các giá trị lượng giác này sẽ giúp chúng ta làm bài nhanh hơn.

Sau đây là bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:

Bài 1: Cho biết cosα = 0,4. Hãy tìm sin⁡α,tan⁡α,cot⁡α

Bài 2: Cho góc nhọn α. Biết rằng cosα – sinα = 1/5. Hãy tính cot⁡α

Bài 3: Cho biết tan⁡α + cot⁡α=3. Tính sin⁡α.cosα

Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:

a] cos4 x – sin4 x = cos2 x – sin2 x

b] sin4 x + cos2 x.sin2 x + sin2 x = 2sin2 x

Bài 5: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

a] cos2 α.cos2 β + cos2 α.sin2 β + sin2 α

b] 2[sin⁡α – cos⁡α ]2 – [sin⁡α + cos⁡α ]2 + 6sin⁡α.cos⁡α

c] [tan⁡α – cot⁡α ]2 – [tan⁡α + cot⁡α ]2

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau mà không dùng bảng số hoặc máy tính

a] M = sin2 150 + sin2 250 + sin2 350 + sin2 450 + sin2 550 + sin2 650 + sin2 750

b] N = 4cos2 α – 3sin2 α với cosα = 4/7

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:

Bài 8: Tam giác nhọn ABC có diện tích S, đường cao AH = h. Cho biết S = h2, Chứng minh rằng cot⁡B + cot⁡C = 2

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

sin2 α + cos2 α = 1

Bài 2:

sin2 α + cos2 α = 1

⇔ 25sin2 α + 5 sin⁡α – 12 = 0

⇔[5sinα – 3][5sinα + 4] = 0

Bài 3:

tan⁡α + cot⁡α = 3

Bài 4:

a] cos4 x – sin4 x = [cos2 x – sin2 x][sin2 α + cos2 α]

=[cos2 x – sin2 x].1 = cos2 x – sin2 x

b] sin4 x + cos2 x.sin2 x + sin2 x

= sin2 x[sin2 x + cos2 x] + sin2 x

= sin2 x.1 + sin2 x = 2sin2 x

c] [1 + tan⁡x ][1 + cot⁡x ]-2

= 1 + tan⁡α + cot⁡α + 1 – 2

Bài 5:

a] cos2 α.cos2 β + cos2 α.sin2 β + sin2 α

= cos2 = cos2 α[cos2 β + sin2 β] + sin2 α

= cos2 α.1 + sin2 α

= 1

b] 2[sin⁡α – cos⁡α ]2 – [sin⁡α + cos⁡α ]2 + 6 sin⁡α.cos⁡α

= 2[1 – 2sinα.cos⁡α ] – [1 + 2sinα.cos⁡α ] + 6sinα.cos⁡α

= 1 – 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α

= 1

c] [tan⁡α – cot⁡α ]2 – [tan⁡α + cot⁡α ]2

= [tan2 α – 2 tan⁡α.cotα + cot2 α] – [tan2 α + 2 tan⁡α.cotα + cot2 α ]

= -4 tan⁡α.cotα

= -4.1 = -4

Bài 6:

a] M = sin2 150 + sin2 250 + sin2 350 + sin2 450 + sin2 550 + sin2 650 + sin2 750

= [sin2 150 + sin2 750] + [sin2 250 + sin2 650 ] + [sin2 350 + sin2 550] + sin2 450

= [sin2 150 + cos2 150] + [sin2 250 + cos2 250 ]+[sin2 350 + cos2 350 ] + sin2 450

= 1 + 1 + 1 + 1/2 = 7/2

b] N = 4cos2 α – 3sin2 α với cosα = 4/7

sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ sin2 α = 1-cos2 α = 1-[4/7]2 = 33/49

N = 4cos2 α – 3sin2 α = 4.16/49 – 3.33/49 = [-5]/7

Bài 7:

 Vẽ tia phân giác BD  Theo tính chất tia phân giác ta có:  Xét tam giác ABD vuông tại A có: 

Bài 8:

Ta có:

Dưới đây là bài tập về tỉ số lượng giác 9 có bản.

Phương pháp giải:

Muốn dựng góc nhọn α biết tỉ số lượng giác của nó là a/b, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định tỉ số lượng giác đã biết là tỉ số độ dài của những cạnh nào

Bước 2: Ta dựng tam giác vuông có các cạnh góc vuông hay cạnh huyền với đồ dài tương ứng với a và b.

Bước 3: Vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận ra góc α .

Dựng góc nhọn α, biết:

a] sin α = 2/3 

Vì sin α = đối/huyền nên ta cần vẽ các cạnh đối và cạnh huyền có tỉ lệ là 2/3.

Ta dựng một tam giác vuông có cạnh góc vuông dài 2 cm, cạnh huyền dài 3 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông đó là góc α.

b] cos α = 0,6

cos α = 0,6 = 3/5 = kề/ huyền nên ta cần vẽ các cạnh kề và cạnh huyền có tỉ lệ là 3/5

Ta dựng một tam giác vuông có cạnh góc vuông dài 3 cm, cạnh huyền dài 5 cm, góc kề với cạnh góc vuông vừa vẽ là góc α.

c] tan α = 3/4

tan α = đối/kề nên ta cần vẽ các cạnh đối và kề có tỉ lệ là 3/4.

Ta dựng một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông là 3 cm, 1 cạnh góc vuông là 4 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông dài 3 cm là góc α .

d] cot α = 3/2

cot α = kề/đối nên ta cần vẽ các cạnh kề và đối có tỉ lệ 3/2.

Ta dựng một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông là 3 cm, 1 cạnh góc vuông là 2 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông dài 2 cm là góc α .

Phương pháp giải:

Muốn chứng minh một đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác, ta phải viết ra các tỉ số độ dài cạnh tương ứng rồi tìm cách biểu diễn chúng để ra được điều phải chứng minh.

Sử định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có:

Hướng dẫn giải:

Tương tự, ta cũng chứng minh:

Dựa vào chứng minh trên ta có thể chứng minh ý tiếp theo.

b]

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, theo định lý Pytago thì ta có AC² + AB² = BC² nên ta có thể chứng minh được sin² α + cos² α = 1.

Phương pháp giải:

Ta cần áp dụng định nghĩa, tính chất của tỉ số lượng giác vừa học để vận dụng linh hoạt vào tính cạnh, tính góc và tính tỉ số lượng giác dựa vào dữ kiện đề bài.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Hướng dẫn giải:

Ta nhớ rằng góc B và góc C là hai góc phụ nhau. Vì thế sin C = cos B = 0,8.

Mà theo bài 14, sin² C + cos² C = 1

Vì thế cos² C = 1 – 0,8 ² = 0,36

cos C = 0,6

tan C = sin C/cos C = 4/3

cot C = 1/tan C = 3/4

______________________________________

Cho tam giác vuông có một góc 60º và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60°.

Hướng dẫn giải:

___________________________________

Tìm x trong hình 23.

Hướng dẫn giải:

Để tính được x ta cần áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, x chính là cạnh huyền. Nhưng ta cần phải biết độ dài cạnh AC.

Từ tỉ số lượng giác góc 45º, ta có thể tính được độ dài của cạnh đối diện góc 45º là AC.

Ta biết độ dài AD = 20 hay là cạnh kề của góc 45º nên để tính AC là dùng tỉ số lượng giác

tan 45º = AC/AD, thay số vào ta có:

1 = AC/20 nên AC = 20.

Và ta dựa vào định lý Pytago để tính x² = BC² = AC² + AB² = 20² + 21² = 841

Vậy x = 29.

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta đưa các tỉ số lượng giác cần so sánh về cùng loại bằng cách sử dụng các tính chất đã học.

Bước 2: Với hai góc nhọn a và b, ta có:

sin a < sin b ⇔ a < b            ;               cos a < cos b ⇔ a > b

tan a < tan b ⇔ a < b           ;              cot a < cot b ⇔ a > b

So sánh:

Hướng dẫn giải:

a] Vi 20º < 70º nên sin 20º < sin 70º

b] Vì 25º < 63º15′ nên cos 25º > cos 63º15′

c] Vì 73º20′ > 45º nên tan 73º20′ > tan 45º

d] Vì 2º < 37º40′ nên cot 2º > cot 37º40′

________________________________________

Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

Hướng dẫn giải:

a] Ta sẽ đổi tất cả sang 1 loại tỉ số lượng giác: cos 14º = sin 76º ; cos 87º = sin 3º

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì sin a tăng, nên ta có:

sin 3º < sin 47º < sin 76º < sin 78º

b] Ta sẽ đổi tất cả sang 1 loại tỉ số lượng giác: cot 25º = tan 65º ; cot 38º = tan 52º

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì tan a tăng, nên ta có:

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì sin a tăng, nên ta có:

tan 52 º < tan 62 º < tan 65 º < tan 73 º

___________________________________________

So sánh:

Hướng dẫn giải:

a] tan 25 º = sin 25º / cos 25 º và sin 25º > 0 ; cos 25 º < 1

Ta so sánh các phân số cùng tử số:

Vì thế tan 25º > sin 25º

Các câu tiếp theo làm tương tự câu a.

______________________________________

Tính:

Có thể bạn cũng quan tâm bài tập chuyên đề khử căn thức hình học 9