- LG a
- LG b
Hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Một mặt phẳng \[\left[ P \right]\] cắtSA, SB, SC, SDtheo thứ tự tạiK, L, M, N. Chứng minh rằng :
LG a
\[{V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = {V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}}\]
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy các tam giácABC, ACD, ABD, BCDđều có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tíchScủa hình bình hànhABCD; các hình chópS.ABC, S.ACD, S.ABD, S.BCDcó chiều cao bằng nhau và bằng chiều caohcủa hình chópS.ABCD. Vậy
\[\eqalign{ & {V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = {V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}} \cr & = {{{V_{S.ABCD}}} \over 2} = {V \over 2}. \cr} \]
LG b
\[{{SA} \over {SK}} + {{SC} \over {SM}} = {{SB} \over {SL}} + {{SD} \over {SN}}.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\[\eqalign{ & {{{V_{S.KLM}}} \over {{V \over 2}}} = {{SK} \over {SA}}.{{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}},\cr&{{{V_{S.KMN}}} \over {{V \over 2}}} = {{SK} \over {SA}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}} \cr & \cr} \]
Tương tự
\[{{{V_{S.KLMN}}} \over {{V \over 2}}} = {{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}} + {{SL} \over {SB}}.{{SN} \over {SD}}.{{SK} \over {SA}}\;\;\;\;[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra
\[{{SK} \over {SA}}.{{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}} + {{SK} \over {SA}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}} \]
\[= {{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}} + {{SL} \over {SB}}.{{SN} \over {SD}}.{{SK} \over {SA}}.\]
Nhân hai vế với \[{{SA} \over {SK}}.{{SB} \over {SL}}.{{SC} \over {SM}}.{{SD} \over {SN}},\] ta được đẳng thức phải chứng minh.