- LG a
- LG b
Cho khối lập phươngABCD.ABCDcạnha. Các điểmEvàFlần lượt là trung điểm củaCBvàCD.
LG a
Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi \[mp\left[ {AEF} \right].\]
Lời giải chi tiết:
Đường thẳngEFcắtADtạiN, cắtAB tạiM, ANcắtDDtạiP, AMcắtBB tạiQ.
Vậy thiết diện là ngũ giácAPFEQ.
LG b
Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng \[\left[ {AEF} \right].\]
Lời giải chi tiết:
Đặt :
\[\eqalign{ & V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}, \cr & {V_1} = {V_{ABCDC'QEFP}}, \cr & {V_2} = {V_{AQEFP.B'A'D'}}, \cr & {V_3} = {V_{A.MA'N}}, \cr & {V_4} = {V_{PFD'N}},{V_5} = {V_{QMB'E}}. \cr} \]
Dễ thấy \[{V_4} = {V_5}\] [ do tính đối xứng của hình lập phương],
\[\eqalign{ & {V_3} = {1 \over 6}AA'.A'M.A'N = {1 \over 6}a.{{3a} \over 2}.{{3a} \over 2} = {{3{a^3}} \over 8}, \cr & {V_4} = {1 \over 6}PD'.D'F.D'N = {1 \over 6}.{a \over 3}.{a \over 2} .{a \over 2}= {{{a^3}} \over {72}}, \cr & {V_2} = {V_3} - 2{V_4} = {{3{a^3}} \over 8} - {{2{a^3}} \over {72}} = {{25{a^3}} \over {72}}, \cr & {V_1} = V - {V_2} = {a^3} - {{25{a^3}} \over {72}} = {{47} \over {72}}{a^3}. \cr} \]
Mặt phẳng \[\left[ {AEF} \right]\] chia khối lập phương thành hai phần lần lượt có thể tích là \[{V_1} = {{47} \over {72}}{a^3},{V_2} = {{25{a^3}} \over {72}}.\]
Vậy : \[{{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{47} \over {25}}.\]