Bài 31 trang 19 sgk toán 8 tập 1 năm 2024

(\sqrt{a-b}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a-b})^2+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=a-b+b+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}=a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}

.

Do a>b>0 nên 2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>0

\Rightarrow a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>a

\Rightarrow (\sqrt{a-b}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a})^2

Do \sqrt{a},\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>0

\Rightarrow \sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}

\Leftrightarrow \sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b} (đpcm)

Vậy \sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}.

Những câu hỏi liên quan

1. Ta có:

+)√25+9=√34+)25+9=34.

+)√25+√9=√52+√32=5+3+)25+9=52+32=5+3

\=8=√82=√64=8=82=64.

Vì 34<6434<64 nên √34<√6434<64

Vậy √25+9<√25+√925+9<25+9

2. Với a>0,b>0a>0,b>0, ta có

+)(√a+b)2=a+b+)(a+b)2=a+b.

+)(√a+√b)2=(√a)2+2√a.√b+(√b)2+)(a+b)2=(a)2+2a.b+(b)2

\=a+2√ab+b=a+2ab+b

\=(a+b)+2√ab=(a+b)+2ab.

Vì a>0, b>0a>0, b>0 nên √ab>0⇔2√ab>0ab>0⇔2ab>0

⇔(a+b)+2√ab>a+b⇔(a+b)+2ab>a+b

⇔(√a+√b)2>(√a+b)2⇔(a+b)2>(a+b)2

⇔√a+√b>√a+b⇔a+b>a+b (đpcm)

a, Ta có : \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)

\(\sqrt{25}+\sqrt{9}=5+3=8=\sqrt{64}\)

mà 34 < 64 hay \(\sqrt{25+9}< \sqrt{25}+\sqrt{9}\)

b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)

bình phương 2 vế ta được : \(a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}>0\)vì \(a;b>0\)nên đẳng thức này luôn đúng )

Vậy ta có đpcm

1. HD: Thực hiện phép khai căn rồi so sánh kết quả.

Trả lời: \> √25 - √16;.

2. HD: Ta có thể chứng minh rằng √a < + √b.

Nhưng điều này suy ra từ kết quả bài tập 26.b) SGK nếu lưu ý rằng

√a = .

1. Ta có:

\(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\);

\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\).

Vì 1 < 3 nên \(\sqrt{25}-\sqrt{16}< \sqrt{25-16}\).

2. Ta có:

\(\sqrt{a}=\sqrt{a-b+b}=\sqrt{(a-b)+b}\)

mà ta đã biết:

\(\sqrt{(a-b)+b}< \sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}< \sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)

Vậy \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\).

1. Điều kiện: x≥0x≥0

√16x=816x=8⇔(√16x)2=82⇔(16x)2=82 ⇔16x=64⇔16x=64 ⇔x=6416⇔x=4⇔x=6416⇔x=4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=4x=4.

Cách khác:

√16x=8⇔√16.√x=8⇔4√x=8⇔√x=2⇔x=22⇔x=416x=8⇔16.x=8⇔4x=8⇔x=2⇔x=22⇔x=4

2. Điều kiện: 4x≥0⇔x≥04x≥0⇔x≥0

√4x=√54x=5 ⇔(√4x)2=(√5)2⇔4x=5⇔x=54⇔(4x)2=(5)2⇔4x=5⇔x=54 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=54x=54.

3. Điều kiện: 9(x−1)≥0⇔x−1≥0⇔x≥19(x−1)≥0⇔x−1≥0⇔x≥1

√9(x−1)=219(x−1)=21⇔3√x−1=21⇔3x−1=21⇔√x−1=7⇔x−1=7 ⇔x−1=49⇔x=50⇔x−1=49⇔x=50 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=50x=50.

Cách khác:

√9(x−1)=21⇔9(x−1)=212⇔9(x−1)=441⇔x−1=49⇔x=509(x−1)=21⇔9(x−1)=212⇔9(x−1)=441⇔x−1=49⇔x=50

4. Điều kiện: x∈Rx∈R (vì 4.(1−x)2≥04.(1−x)2≥0 với mọi x)x)

√4(1−x)2−6=04(1−x)2−6=0⇔2√(1−x)2=6⇔2(1−x)2=6 ⇔|1−x|=3⇔|1−x|=3 ⇔[1−x=31−x=−3⇔[1−x=31−x=−3 ⇔[x=−2x=4⇔[x=−2x=4

Vậy x=−2;x=4.

a, \(\sqrt{16x}=8\Leftrightarrow4\sqrt{x}=8\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

b, \(\sqrt{4x}=\sqrt{5}\)ĐK : x \(\ge0\)

bình phương 2 vế ta được : \(4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

c, \(\sqrt{9\left(x-1\right)}=21\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}=21\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=7\)

bình phương 2 vế ta được : \(x-1=49\Leftrightarrow x=50\)

d, \(\sqrt{4\left(1-x\right)^2}-6=0\Leftrightarrow2\left|1-x\right|=6\Leftrightarrow\left|1-x\right|=3\)

TH1 : \(1-x=3\Leftrightarrow x=-2\)

TH2 : \(1-x=-3\Leftrightarrow x=4\)

1. Ta có:

4>3⇔√4>√3⇔2>√3⇔2.2>2.√3⇔4>2√34>3⇔4>3⇔2>3⇔2.2>2.3⇔4>23

Cách khác:

Ta có:

⎧⎨⎩42=16(2√3)2=22.(√3)2=4.3=12{42=16(23)2=22.(3)2=4.3=12

Vì 16>12⇔√16>√1216>12⇔16>12

Hay 4>2√34>23.

2. Vì 5>4⇔√5>√45>4⇔5>4

⇔√5>2⇔5>2

⇔−√5<−2⇔−5<−2 (Nhân cả hai vế bất phương trình trên với −1−1)

Vậy −√5<−2−5<−2.

a, Ta có : \(4=\sqrt{16}\); \(2\sqrt{3}=\sqrt{4.3}=\sqrt{12}\)

Do 12 < 16 hay \(2\sqrt{3}< 4\)

b, Ta có : \(-2=-\sqrt{4}\)

Do \(4< 5\Rightarrow\sqrt{4}< \sqrt{5}\Rightarrow-\sqrt{4}>-\sqrt{5}\)

Vậy \(-2>-\sqrt{5}\)

2. Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương :)

Ta có : \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}< a-b\)

\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\) (1)

Vì a>b nên \(b-a< 0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)< 0\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< 0\) (vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\))

Lại có \(\sqrt{b}>0\) \(\Rightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\) đúng.

Vì bđt cuối đúng nên bđt ban đầu được chứng minh

\(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)

\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\)

\(\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)

a, \(\sqrt{\frac{289}{25}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{25}}=\frac{17}{5}\)

b, \(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}\)

c, \(\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)