Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :. Bài 77 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau : \(\eqalign{ & a)\;\;d:{{x – 2} \over 2} = {{y – 3} \over 3} = {{z + 4} \over { – 5}},\cr&\;\;\;\;\;d’:{{x + 1} \over 3} = {{y – 4} \over { – 2}} = {{z – 4} \over { – 1}}; \cr & b)\;\;d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 – t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr} \right.d’:\left\{ \matrix{ x = 2 – 2t’. \hfill \cr y = 3 \hfill \cr z = t’. \hfill \cr} \right. \cr} \) a) Cách 1: Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; – 5} \right),\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left( {3; – 2; – 1} \right).\) Khi đó vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left( { – 13; – 13; – 13} \right)\) nên đường vuông góc chung \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right).\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d và \(\Delta \) thì \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_o}(2;3; – 4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {8, – 7, – 1} \right).\) Có phương trình của mp\(\left( \alpha \right)\) là: \(8\left( {x – 2} \right) – 7\left( {y – 3} \right) – 1\left( {z + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x – 7y – z + 1 = 0.\) Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng chứa \(d’\) và \(\Delta \) thì \(\left( \beta \right)\) đi qua điểm \(M_o’\left( { – 1;4;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left( {1;4; – 5} \right).\) Phương trình của mp\(\left( \beta \right)\) là :\(1\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y – 4} \right) – 5\left( {z – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 4y – 5z + 5 = 0.\) Vậy đường vuông góc chung \(\Delta \) của \(d\) và \(d’\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) . Nó có phương trình tham số là: Quảng cáo\(\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\) Cách 2: Điểm \(M \in d\) có toa độ là \(M = \left( {2 + 2t;3 + 3t; – 4 – 5t} \right).\) Điểm \(N \in d’\) có toa độ là \(N = \left( { – 1 + 3t’;4 – 2t’;4 – t’} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { – 3 + 3t’ – 2t;1 – 2t’ – 3t;8 – t’ + 5t} \right).\) MN là đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d’}}} = 0 \hfill \cr} \right.\) Suy ra \(M = \left( {0;0;1} \right),N = \left( {2;2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;2;2} \right).\) Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung \(\Delta \) là \({x \over 1} = {y \over 1} = {{z – 1} \over 1}.\) b) \({{x – 2} \over 1} = {{y – 3} \over 5} = {z \over 2}.\) Academia.edu no longer supports Internet Explorer. To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.
Giả sử lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2. Ta thực hiện như sau: + Chuyển đường d1 và d2 về dạng tham số t và u + Tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}}$và $B\in {{d}_{2}}$theo 2 ẩn t và u. + Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $\left\{ \begin{array} {} d\bot {{d}_{1}} \\ {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array} {} t \\ {} u \\ \end{array} \right.$ Phương trình đường thẳng cần tìm là AB. Bài tập viết phương trình đường thẳng vuông góc chung trong không gian có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(1;0;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(0;-2;3)$ Gọi $A(1+t;0;-5+t)\in {{d}_{1}}$và $B(0;4-2u;5+3u)\in {{d}_{2}}$suy ra $\overrightarrow{AB}(-1-t;4-2u;10+3u-t)$ Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $\left\{ \begin{array} {} d\bot {{d}_{1}} \\ {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\ {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1-t+10+3u-t=0 \\ {} -8+4u+30+9u-3t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -2t+3u=-9 \\ {} -3t+13t=-22 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t=3 \\ {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} A(4;0;-2) \\ {} B(0;6;2) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(4;-6;-4)$ Phương trình đường thẳng AB là: $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{-2}$.
Lời giải chi tiết Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;-1;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(1;-1;1)$ Gọi $M(2+2t;1-t;2+t)\in {{d}_{1}};N(u;4-u;1+u)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(u-2t-2;3-u-t;-1+u-t)$ Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\ {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2(u-2t-2)+u+t-3+u-t-1=0 \\ {} u-2t-2+u+t-3+u-t-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=2 \\ {} t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow M(2;1;2);N(2;2;3)$ Suy ra $\overrightarrow{MN}(0;1;1)\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=1+t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;1;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(-4;1;-1)$ Gọi $M(-1+2t;-2+t;1+t)\in {{d}_{1}};N(-2-4u;1+u;-2-u)\in {{d}_{2}}$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(-4u-2t-1;u-t+3;-u-t-3)$ Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\ {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -8u-4t-2+u-t+3-u-t-3=0 \\ {} 16u+8t+4+u-t+3+u+t+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} u=-1 \\ {} t=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} M(1;-1;2) \\ {} N(2;0;-1) \\ \end{array} \right.$ Suy ra $\overrightarrow{MN}(1;1;-3)\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=-1+t \\ {} z=2-3t \\ \end{array} \right.\Rightarrow A(3;1;-4)\in MN$. Chọn A. @ Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) Phương pháp giải Cách 1: - Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$chứa d và vuông góc với (P) Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right]$ - Bước 2: Viết phương trình đường thẳng $\Delta =(\alpha )\cap (P)$ Cách 2: Lấy điểm $A\in d$, tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d, khi đó ∆ qua H Do $\Delta \bot (\alpha )$và $\Delta \subset (P)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]$ Chú ý: Trong trường hợp d cắt (P) ta lấy điểm $A=d\cap (P)$
Lời giải chi tiết Gọi $A(1-t;2+2t;-1-t)=d\cap (P)\Rightarrow A\in (P)\Rightarrow 1-t-2-2t-1-t-1=0\Rightarrow t=-\frac{3}{4}$ Suy ra $A\left( \frac{7}{4};\frac{1}{2};-\frac{1}{4} \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (1;-1;1);(1;0;-1) \right]=(1;2;1)$ Vậy $\Delta :\frac{x-\frac{7}{4}}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{2}=\frac{z+\frac{1}{4}}{1}$
Lời giải chi tiết Gọi $A(2+t;-1+3t;3+2t)=d\cap (P)\Rightarrow A\in (P)\Rightarrow 4+2t-1+3t-9-6t+5=0\Rightarrow t=-1$ Suy ra $A\left( 1;-4;1 \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (2;1;-3);(-11;7;-5) \right]=(16;43;25)$ Vậy $\Delta :\frac{x-1}{16}=\frac{y+4}{43}=\frac{z-1}{25}$
Lời giải chi tiết Gọi $A(-3+2t;-1+t;-t)\in d$, cho $A\cap (P)\Rightarrow -3+2t+3-3t-2t+6=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow A(1;1;-2)\in \Delta $ Lại có $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (1;-3;2);(-1;-5;-7) \right]=(31;5;-8)$ Vậy $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1+31t \\ {} y=1+5t \\ {} z=2-8t \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: (Oxy): z = 0, các điểm $A(1;-2;3),B(3;1;4)\in d$. Gọi A’ là hình chiếu của A lên (Oxy) $\Rightarrow A'(1;-2;0)$. Gọi B’ là hình chiếu của B lên (Oxy) $\Rightarrow B'(3;1;0)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}(2;3;0)$. Phương trình đường thẳng hình chiếu là: $\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2+3t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.$. Chọn C. . |