- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α] .
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [α] vì d ⊥ [α]
+ Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó.
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.
+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng [Oxy] thì có VTCP là uΔ→ = k→ = [0;0;1] .
+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng [Oxz] thì có VTCP là uΔ→ = j→ =[0;1;0] .
+Nếu Δvuông góc với mặt phẳng [Oyz] thì có VTCP là uΔ→ = i→ =[1;0;0] .
Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A[1;0; -1] và vuông góc với mặt phẳng [P]: 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?
A. Vậy phương trình tham số của Δ là:
B. Phương trình chính tắc của Δ là:
C. Vậy phương trình tham số của Δ là:
D. Phương trình chính tắc của Δ là:
Hướng dẫn giải
Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng [α] nên vectơ chỉ phương của Δ là:
Vậy phương trình tham số của Δ là:
Phương trình chính tắc của Δ là:
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M [1; 3; -2] và vuông góc với mặt phẳng [Oxy]. Tìm mệnh đề sai?
A. phương trình tham số của Δ là:
B. Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.
C. Điểm H[ 1;3; 4] thuộc đường thẳng d
D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ P]: 2x+ 3y+ z= 0.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [Oxy] có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [Oxy] nên vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình tham số của Δ là: và đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Cho t= 6 ta được điểm H[ 1;3; 4] thuộc đường thẳng d.
Mặt phẳng [P]: 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là :
Ta có:
=> Đường thẳng d và mặt phẳng [ P] không vuông góc với nhau.
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A[1;2; 3] và vuông góc với mặt phẳng [P]: 2x +2y + z + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai?
A. Vậy phương trình tham số của d là:
B. Phương trình chính tắc của d là:
C. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:
D. Điểm M[ 3; 4; 4] thuộc đường thẳng d.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến là
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P] nên vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình tham số của d là:
Cho t= 1 ta được điểm M [3; 4; 4] thuộc đường thẳng d
Phương trình chính tắc của d là:
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x- 2y = 5z + 10 . Phương trình chính tắc của của đường thẳng d đi qua điểm M[ -2; 1; 3] và vuông góc với [P] là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Phương trình mặt phẳng [P]: x- 2y = 5z+ 10 hay x- 2y – 5z – 10= 0
Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
+ Vì d vuông góc với [P] nên d có vectơ chỉ phương u→=
Đường thẳng d đi qua điểm M[ -2;1 ;3] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình chính tắc của d là:
Chọn A.
Ví dụ 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho mặt phẳng [P]:2x- 3y+ 5z= 0. Gọi [Q] là mặt phẳng song song với [P]. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua O và vuông góc với [ Q] là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Do mặt phẳng [Q] song song với [P] nên mặt phẳng [Q] có dạng: 2x- 3y +5z+ D= 0
Khi đó; mặt phẳng [Q] nhận vecto
Vì d vuông góc với [Q] nên d có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d đi qua O[0; 0; 0] và có vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của d là:
Chọn B.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A[ 2;0; 0]; B[ 0; -2; 0] và C[0; 0; 3]. Một đường thẳng d đi qua M[ 2; 1; 0] và vuông góc với mặt phẳng [P] có phương trình tham số là :
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng [P] là:
Mặt phẳng [ P] nhận vecto
+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P] nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Chọn A.
Ví dụ 7 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua điểm A[2; 0; 0] và song song với đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ P]
Đường thẳng d đi qua điểm H[ 1; -3; 1] và có vecto chỉ phương
Vecto
+ Do mặt phẳng [P] đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
+ Do đường thẳng Δ đi qua M [ -2; 1; 0] và vuông góc với mặt phẳng[P] nên đường thẳng Δ nhận vecto
=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:
Chọn C.
Ví du 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Không có phương trình chính tắc
Hướng dẫn giải
+ Viết phương trình mặt phẳng [P]
Đường thẳng d1 đi qua A[ 0; 2;0] và có vecto chỉ phương
Đường thẳng d2 đi qua B[ -2; 2; 0] và có vecto chỉ phương
=>
=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau
Mặt phẳng [P] đi qua A[ 0; 2; 0] và có vecto pháp tuyến là: [0; 4; 1] nên có phương trình: 0[ x- 0] + 4[ y-2] + 1[ z- 0] = 0 hay 4y+ z- 8= 0
+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng [P] nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:
=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Chọn D.
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A[2; -1; -4] và vuông góc với mặt phẳng [Oxz] là.
A.
B.
C.
D.
Mặt phẳng [ Oxz] có phương trình là: y= 0 nên có vectơ pháp tuyến
Vì d vuông góc với [Oxz] nên d có vectơ chỉ phương u→ =
Đường thẳng d đi qua điểm A[ 2; -1; -4] và có vectơ chỉ phương u→
Vậy phương trình tham số của d là
Chọn C.
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A[ 0; 2; -1]; B[ 2; -3; 1] và C[ 1; -2; 0]. Phương trình tham số d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng [ABC] là
A.
B.
C.
D.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:
Ta có:
Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng
Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ ABC] nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Chọn A.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[2;3;2] và B[-2; 3; 4]. Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng [OAB] là
A.
B.
C.
D.
Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:
Ta có;
Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [OAB] là
Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ OAB] nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho tam giác ABC có A[1;2; 1]; B[0; -1; 2] và C[ 2; 3; 0]. Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng d.
A.
B.
C.
D.
Ta có:
Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ABC] nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là :
Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ABC] nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Chọn D.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A[ -2 ; 1 ; 9] đồng thời vuông góc với giá của hai vectơ
A.
B.
C.
D.
Do đường thẳng d đồng thời vuông góc với giá của hai vecto
Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Chọn D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; mặt phẳng [P] đi qua điểm A[-1;0;1]và song song với đường thẳng
A.
B.
C.
D.
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ P]
Đường thẳng d đi qua điểm H[ 0; -3; 0] và có vecto chỉ phương
+ Do mặt phẳng [P] đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
+ Do đường thẳng Δ đi qua M [2;1 ; 3] và vuông góc với mặt phẳng[P] nên đường thẳng Δ nhận vecto
=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:
Chọn C.
Câu 7:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. Phương trình mặt phẳng [P]: - 10x+ 8y+ 9z - 4= 0
B. Phương trình tham số của đường thẳng d:
C. PHương trình chính tăc của đường thẳng d:
D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc
+ Viết phương trình mặt phẳng [P]
Đường thẳng d1 đi qua A[ 3;2; 2] và có vecto chỉ phương
Đường thẳng d2 đi qua B[ -2; - 2; 0] và có vecto chỉ phương
=>
=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau
Mặt phẳng [P] đi qua A[ 3; 2; 2] và có vecto pháp tuyến là: [-10; 8; 9 ] nên có phương trình: - 10[ x- 3] + 8[ y-2] + 9[ z- 2] = 0 hay - 10x + 8y + 9z - 4= 0
+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng [P] nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:
=> Đường thẳng d có phương trình chính tắc :
Đường thẳng d có phương trình tham số:
Chọn D.
Câu 8:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho mặt phẳng [P] chứa trục Ox và đi qua điểm A[ 2; 3; 1]. Gọi d là đường thẳng qua M[ -2; 0; 1] và vuông góc với mặt phẳng [P]. Tìm mệnh đề sai
A. Phương trình tham số đường thẳng [d]:
B. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là :
C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là :
D. Phương trình mặt phẳng [P] là: - y+ 3z= 0
+ Trục Ox đi qua điểm O [0; 0; 0]và nhận vecto
Ta có:
=> Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
Mặt phẳng [ P] đi qua A[ 2; 3; 1 ] và vecto pháp tuyến là:
=> Phương trình mặt phẳng [P] là: 0[ x- 2] – 1[ y- 3] + 3[ z-1] = 0 hay – y+ 3z=0
+ Do đường thẳng d đi qua M[- 2; 0;1] và vuông góc với [P] nên nhận vecto [0; -1; 3] làm vecto chỉ phương
=> Phương trình tham số của đường thẳng d:
Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.
Chọn D.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp