Kỹ thuật tính góc giữa hai mặt phẳng
Bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng là bài toán tương đối khó và nằm ở mức vận dụng và vận dụng cao, bên cạnh những phương pháp truyền thống như dựng hình tạo góc thì trong chủ đề này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu tới 3 phương pháp giải quyết các bài toán trắc nghiệm có thể nói gần như mọi bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng mà ta hay gặp.
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ
PHƯƠNG PHÁP 1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU.
Đây là một tính chất khá là cơ bản trong chương trình hình học 11 mà ta cần nắm rõ, công thức của nó rất đơn giản như sau: Cho hình S thuộc mặt phẳng [P], hình S’ là hình chiếu của S lên mặt phẳng [Q], khi đó ta có cosin góc giữa hai mặt phẳng [P] và [Q] được tính theo công thức cosα = S’/S.
PHƯƠNG PHÁP 2. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHỊ DIỆN.
Đây là một công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, hầu hết các bài toán đơn giản hay đến phức tạp đều có thể giải bằng phương pháp này.Các bước thực hiện:
Bước 1: Đưa góc giữa hai mặt phẳng về góc giữa hai mặt phẳng kề nhau của một tứ diện. Chú ý điều này luôn thực hiện được.
Bước 2: Sử dụng công thức: V = 2S1S2sinα/3a. Trong đó S1, S2 lần lượt là diện tích hai tam giác kề nhau của tứ diện, a là độ dài giao tuyến, còn α là góc giữa hai mặt phẳng cần tìm.
PHƯƠNG PHÁP 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA. Nói chung đây cũng là một phương pháp rất mạnh, tuy nhiên nhược điểm của nó là phải nhớ công thức tính hơi cồng kềnh và chỉ áp dụng cho những trường hợp ta dựng được hoặc trong bài toán có yếu tố 3 đường vuông góc.
Cách thực hiện:
Bước 1: Xác định 3 đường vuông góc chung.
Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm của 3 đường vuông góc chung là gốc tọa độ.
Bước 3: Từ giả thiết tìm tọa độ của các điểm có liên quan tới giả thiết.
Bước 4: Áp dụng công thức cần tính để suy ra kết quả.
Theo kinh nghiệm thì những bài toán có giả thiết liên quan tới hình hộp chữ nhật, hình lập phương thì thì ta nên sử dụng phương pháp tọa độ hóa, ngoài ra các bài có yếu tố một cạnh của chóp vuông góc với đáy hay liên quan tới lăng trụ đứng ta cũng có thể sử dụng phương pháp này nhưng tùy vào từng bài mà ta có hướng đi khác nhau, có thể là sử dụng phương pháp 2 hoặc sử dụng phương pháp 1, tùy vào kỹ năng của người làm bài.
Chúc các em học tốt !
[ Nhóm biên soạn tài liệu Trường Cao Đẳng Y Dược Pasteur ]
Xác định góc giữa hai mặt phẳng là một dạng toán quan trọng trương chương trình Toán 11. Cùng Top lời giải tìm hiểu qua bài viết sau:
1. Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
Góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian bằng góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Chú ý rằng góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ0∘đến90∘.
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng0∘.Trái lại, hai mặt phẳng phải cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng nào đó, giả sử làΔ, thì ta có ba cách như dưới đây.
Bài toán.Xác định góc giữa hai mặt phẳng[P]và[Q]trong không gian.
1.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
Tìm hai đường thẳngavàblần lượt vuông góc với hai mặt phẳng[P]và[Q]. Góc giữa hai mặt phẳng[P]và[Q]chính bằng góc giữa hai đường thẳngavàb.
Vì chúng ta được quyền lựa chọn các đường thẳngavàbnên ta thường chọn sao cho hai đường thẳng này cắt nhau, để việc tính góc giữa chúng dễ dàng hơn.
1.2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách sử dụng giao tuyến
- Xác định giao tuyếnΔcủa hai mặt phẳng[P]và[Q].
- Tìm mặt phẳng[R]vuông góc với giao tuyếnΔ.
- Lần lượt tìm các giao tuyếnavàbcủa mặt phẳng[R]với hai mặt phẳng[P]và[Q].
- Tính góc giữa hai đường thẳngavàb, đây chính là góc giữa hai mặt phẳng[P]và[Q].
Nhận xét.Thay vì tìm một mặt phẳng[R]vuông góc với giao tuyếnΔ, ta có thể đi tìm một điểmCnào đó trênΔ. Sau đó, từ điểmCnày lần lượt dựng hai đường thẳngavàbnằm trong từng mặt phẳng rồi tính góc giữa chúng.
1.3. Tính góc giữa 2 mp bằng công thức diện tích hình chiếu
Giả sử góc giữa hai mặt phẳng[P]và[Q]bằngφ. Lấy trong mặt phẳng[P]một đa giác[H]có diện tíchS, hình chiếu vuông góc của đa giác[H]lên mặt phẳng[Q]là đa giác[H′]có diện tíchS′. Khi đó ta luôn có công thức
S′=Scosφ.
2. Ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian
Ví dụ 1.Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha. CạnhSA=avà vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng[SBC]và[ABCD],góc giữa mặt phẳng[SBD]và mặt phẳng[ABCD].
Hướng dẫn.Để tính góc giữa hai mặt phẳng[SBC]và[ABCD], chúng ta sử dụng cách thứ 2.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng[SBC]và[ABCD]chính làBC.
- Bây giờ, ta cần tìm [nếu chưa có sẵn thì chúng ta sẽ tự vẽ thêm] một mặt phẳng vuông góc với giao tuyếnBCnày. Bạn nào phát hiện ra đó chính là mặt phẳng[SAB]thì tốt, nếu chưa thì chú ý hai điều sau:
+ Muốn có một mặt phẳng vuông góc vớiBCthì cần tìm mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc vớiBC.
+ Đường thẳngBCđang vuông góc với những đường thẳng nào [chính làSAvàAB].
- Bước tiếp theo, sau khi có mặt phẳng[SAB]rồi, chúng ta sẽ tìm giao tuyến của nó với hai mặt phẳng ban đầu, chính là các đường thẳngABvàSB
- Cuối cùng, chúng ta đi tính góc giữa hai đường thẳngABvàSB, chính là gócSBA, các em hãy tự tính xem góc này bằng bao nhiêu.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng[SBD]và[ABCD], các em hãy thực hiện đúng các bước như trên. Gợi ý, góc giữa hai mặt phẳng này chính bằng gócSOA.
Ví dụ 2.Cho hình chópS.ABC,có đáyABClà tam giác vuông cân vớiBA=BC=a; cạnhSAvuông góc với đáy vàSA=a. GọiE,Flần lượt là trung điểm của các cạnhABvàAC.
1. Tính góc giữa hai mặt phẳng[ABC]và[SBC].
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng[SEF]và[SBC].
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng[SAC]và[SBC].
Hướng dẫn.
1. Góc giữa hai mặt phẳng[ABC]và[SBC]chính bằng gócSBA.
2. Giao tuyến của hai mặt phẳng[SEF]và[SBC]là đường thẳngdđi qua điểmSvà song song vớiBC. Do đó, chúng ta tìm một mặt phẳng vuông góc với giao tuyếndthì cũng chính là đi tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳngBC. Và, nhận thấy luôn mặt phẳng[SAB]vuông góc vớiBC. Sau đó đi xác định giao tuyến của mặt phẳng[SAB]với hai mặt phẳng ban đầu khá dễ dàng. Góc giữa hai mặt phẳng chính bằng gócBSEvà đáp số
3. Để tính góc giữa hai mặt phẳng[SAC]và[SBC], chúng ta có thể làm theo cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyếnSCcủa chúng. Tuy nhiên, cách này không phải bạn nào cũng biết cách tạo ra một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đó, nên ở đây thầy hướng dẫn theo cách sử dụng công thức diện tích hình chiếu.
Trong mặt phẳng[SBC]chúng ta chọn một đa giác mà dễ dàng tính được diện tích, chọn luôn tam giácSBC. Đây là tam giác vuông tạiBnên diện tích tính bởi
Tiếp theo, tìm hình chiếu của tam giác này lên mặt phẳng[SAC]. Chúng ta có ngay hình chiếu vuông góc củaCvàSthì trùng với chính chúng luôn, nên chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của điểmBlà đủ.
Phát hiện được trung điểmFcủaACchính là hình chiếu vuông góc của điểmBlên mặt phẳng[SAC][hãy thử giải thích tại sao, nếu không được thì mời các em để lại bình luận dưới bài viết, thầy sẽ hướng dẫn].
Như vậy, hình chiếu vuông góc của tam giácSBClên mặt phẳng[SAC]chính là tam giácSCF, tam giác này có diện tích
Theo công thức diện tích hình chiếu thì
SSCF=SSBC⋅cosφ
Thay số vào tìm được,[[SAC],[SBC]]=60∘.
Nếu vẫn sử dụng cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyếnSC, thầy gợi ý là lần lượt gọiH,Klà hình chiếu vuông góc củaAlênSB,SCthì chứng minh được mặt phẳng[AHK]vuông góc vớiSC. Góc giữa hai mặt phẳng cần tính chính bằng gócAK