Tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song

1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

        Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\,.\) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left( P \right).\)

b.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) chỉ có một điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(A\,.\)

c.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left( P \right)\,.\)

1.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nào đó trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\,.\)

Tức là, \(a \not\subset \left( P \right)\) thì nếu:

\(a\parallel d \subset \left( P \right) \Rightarrow a\parallel \left( P \right).\)

1.3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì mọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) mà cắt \(\left( P \right)\) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \(a\,.\)

Tức là, nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( Q \right) \cap \left( P \right) = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\)

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. 

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\left( P \right)\parallel a\\\left( Q \right)\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\)

Hệ quả 3: Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng song song với \(b\,.\)

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng \(d\) songsong với mặt phẳng  \(\left( \alpha  \right)\) ta chứng minh \(d\) song song với một đường thẳng \(d'\) nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).

Ví dụ 1: 

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \(O\) và \(O'\).

a) Chứng minh \(OO'\) song song với các mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\).

b) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên các cạnh \(AE,BD\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\). Chứng minh \(MN\) song song với \(\left( {CDEF} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Ta có \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(BDF\) ứng với cạnh \(DF\) nên \(OO'\parallel DF\), \(DF \subset \left( {ADF} \right)\)

\( \Rightarrow OO'\parallel \left( {ADF} \right)\).

Tương tự, \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(ACE\) ứng với cạnh \(CE\) nên \(OO'\parallel CE\), \(CE \subset \left( {CBE} \right) \Rightarrow OO'\parallel \left( {BCE} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(I = AN \cap CD\)

Do \(AB\parallel CD\) nên \(\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\)\( \Rightarrow MN\parallel IE\). Mà \(I \in CD \Rightarrow IE \subset \left( {CDEF} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {CDEF} \right)\).

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \(\left( \alpha  \right)\) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel d\\d \subset \left( \beta  \right)\\M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = d'\parallel d,M \in d'\)

Ví dụ 2: 

Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc cạnh \(AB\) và \(CD\), \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \(MN\) và song song với \(SA\).

a) Xác định thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi\(\left( \alpha  \right)\).

b) Tìm điều kiện của \(MN\) để thiết diện là một hình thang.

Hướng dẫn:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right) = MQ\parallel SA,Q \in SB\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap MN\)

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( \alpha  \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAC} \right)\)

Vậy \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha  \right) = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\)

Từ đó ta có \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ,\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\).

Thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).

b) Tứ giác \(MNPQ\) là một hình thang khi \(MN\parallel PQ\) hoặc \(MQ\parallel NP\).

Trường hợp 1:

Nếu \(MQ\parallel NP\) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\)

Mà \(NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu \(MN\parallel PQ\)thì ta có các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( \alpha  \right),\left( {SBC} \right)\)đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,BC,PQ\) nên \(MN\parallel BC\).

Đảo lại nếu \(MN\parallel BC\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( \alpha  \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MN\parallel PQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.

Vậy để tứ giác \(MNPQ\) là hình thang thì điều kiện là \(MN\parallel BC\).

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng  d và mặt phẳng (P). Tùy theo số điểm chung của d và (P), ta có ba trường hợp:

Trường hợp 1: d và (a) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (P) hay (P) song song với d và kí hiệu là: d // (P) hay (P) // d.

Trường hợp 2: d và (P) có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (P) cắt nhau tại M và kí hiệu là:

d ∩ (P) = {M} hay d ∩ (P) = M

Trường hợp 3: d và (P) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (P) hay (P) chứa d và kí hiệu:

d ⊂ (a) hay (a) ⊂ d

Tính chất :

Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (P) thì d song song với (a).

 Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.