Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. h là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b. Lý thuyết đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước – Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. h là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
2. Tính chất của các điểm cách đều một đoạn thẳng cho trước.
Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
3. Đường thẳng song song cách đều
Định lí:
– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thằng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Trên hình vẽ ta có \[AH=BK=h\] là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \[a\] và \[b.\]
2. Tính chất của các điểm cách đều một đoạn thẳng cho trước
Tính chất: Các điểm cách đường thẳng \[b\] một khoảng bằng \[h\] nằm trên hai đường thẳng song song với \[b\] và cách \[b\] một khoảng bằng \[h.\]
3. Đường thẳng song song cách đều
Định lí:
- Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
- Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Ví dụ:
Trên hình ta có a//b//c//d thì AB=BC=CD; MN=NP=PQ.
Loigiaihay.com
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M[x_M;y_M]$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M[x_M;y_M]$ đến đường thẳng $\Delta$ được xác định bởi công thức:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$.
Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ thì chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố:
- Tọa độ điểm M
- Phương trình của đường thẳng $\Delta$
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$
a. Tính khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$
b. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$
Hướng dẫn:
a. Khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|2.2+3.1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$
b. Khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$ là:
$d[M,a]=\dfrac{|4.2+3.4-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{5}=3$
Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A[1;2]$; $B[2;3]$; $C[-1;2]$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Hướng dẫn:
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC.
Ta có: $\vec{BC}=[-3;-1]$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\vec{n}_{BC}=[1;-3]$
Đường thẳng BC đi qua điểm $B[2;3]$ có phương trình là:
$1.[x-2]-3[y-3]=0$ $x-3y+7=0$
Khoảng cách từ điểm $A[1;2]$ đến đường thẳng BC là:
$d[A,BC]=\dfrac{|1-3.2+7|}{\sqrt{1^2+[-3]^2}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng: $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.
Hướng dẫn:
Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm $M$ là: $M[x_M;-x_M+3]$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là:
$d[M,b]=\dfrac{|3x_M-4[x_M+3]+5|}{\sqrt{3^2+[-4]^2}}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|-x_M-7|}{5}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|x_M+7|}{5}$
Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có:
$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$
$|x_M+7|=15$
$x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$
$x_M=8$ hoặc $x_M=-19$
Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $M_1[8;-5]$ và $M_2[-22;-19]$
Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.
a. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;-3]$ tới đường thẳng a
b. Tính khoảng cách từ điểm $B[-4;3]$ tới đường thẳng b
Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A[4;2] và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$
Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2
Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I[2, –3] và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Câu `2` :
`-` Một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó là khoảng cách của 1 đường vuông góc từ điểm đó tới đường thẳng
Câu `3` :
`-` Đường trung tuyến của tam giác là một đoạn thẳng nối giữa đỉnh của góc này với trung điểm của cạnh đối diện với góc đó
`-` Một tam giác có `3` đường trung tuyến
Câu `4` :
`-` Đường phân giác của tam giác là một đoạn thẳng nằm giữa và chia đều góc của đoạn thẳng đó thàng hai góc bằng nhau và cắt một điểm tại cạnh đối diện
`-` Mỗi tam giác có `3` đường phân giác
Câu `5` :
`-` Đường trung trực của tam giác là một đường thẳng bất kì nối vuông góc với trung điểm của một cạnh trên tam giác đó [đường trung trực trong một cạnh không nhất thiết đi qua đỉnh đối diện của cạnh ấy đối với tam giác bất kì]
`-` Một tam giác có `3` đường trung trực
Câu `6` :
`-` Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó
`-` Một tam giác có `3` đường cao
`-` Trực tâm của tam giác là điểm mà ba đường cao cùng đi qua hay ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này gọi là trực tâm
Câu `7` :
`-` Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó và ngược lại nếu trong một tam giác bất kì có hai trong bốn loại đường [trung tuyến, trung trực, phân giác, đường cao] trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân [với điều kiện bốn loại đường đó cùng xuất phát từ một định và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này]
`-` Dựa vào tính chất trên, đối với tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác các đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M[x0; y0] và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d [M, ∆] = |Ax0 + By0 + C| √A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M[1; 2] đến đường thẳng [D]: 4x + 3y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d[M, D] = |4 · 1 + 3 · 2 − 2| √42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆: 2x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến [D]: 4x + 3y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A[1, −3] và có khoảng cách đến điểm M0[2, 4] bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A[1; −3] có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k[x − 1] ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆: 24x − 7y − 45 = 0. Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng [D] song song với [D0]: 3x + 4y − 1 = 0 và cách [D0] một đoạn bằng 2. Đường thẳng [D] ∥ [D0] nên phương trình đường thẳng [D]: 3x + 4y + c = 0. Lấy điểm M[−1; 1] ∈ [D0], theo đề ta có: d[D, D0] = d[M, D] = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c|5 = 2 ⇔ |c + 1| = 10 ⇔ c = 9, c = −11. Với c = 9 ta có D : 3x + 4y + 9 = 0. Với c = −11 ta có D : 3x + 4y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A[−1, 2] và hai đường [∆]: x − y − 1 = 0,[∆0]: x + 2y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng [∆] một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến [∆0] bằng AM.
Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M[1, 1] một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 [2, 3] một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆: Ax + By + C = 0. Theo đề ta có: d[M, ∆] = 2 ⇔ |A + B + C| √A2 + B2 = 2 ⇔ |A + B + C| = 2√A2 + B2. Từ [1] và [2] ta có |2A + 3B + C| = 2|A + B + C| ⇔ 2A + 3B + C = 2[A + B + C], 2A + 3B + C = −2[A + B + C] ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và [1] ta được |A + 2B| = 2√A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆1: y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆0 = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu.