Quan sát bảng "tần số" [bảng 24] và cho biết có nên dùng số trung bình cộng làm "đại diện" cho dấu hiệu không? Vì sao?
Ta có số trung bình cộng của các giá trị trong bảng là:
\[\overline{X} = \dfrac{2.3 + 3.2 + 4.2 + 90.2 + 100.1}{10} = \dfrac{300}{10} = 30\]
Số trung bình cộng này không làm "đại diện" cho dấu hiệu vì chênh lệch quá lớn so với 2; 3; 4. Các giá trị khác nhau của dấu hiệu hiện có khoảng chênh lệch rất lớn 2, 3, 4 so với 100, 90.
Lưu ý:
- Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng cách chênh lệch quá rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng làm "đại diện" cho dấu hiệu đó.
Theo dõi thời gian làm một bài toán. Bài 17 trang 20 sgk toán 7 – tập 2 – Số trung bình cộng
Bài 17. Theo dõi thời gian làm một bài toán [tính bằng phút] của 50 học sinh, thầy giáo lập được bảng 25:
a] Tính số trung bình cộng.
b] Tìm mốt của dấu hiệu.
Hướng dẫn giải:
Quảng cáoa] Số trung bình cộng về thời gian làm một bài toán của 50 học sinh.
\[\overline{X}=\frac{3.1+4.3+5.4+6.7+7.8+8.9+9.8+10.5+11.3+12.2}{50}\]
\[\overline{X}\]= \[\frac{362}{50}\] = 7,24 [phút]
b] Mốt của dấu hiệu: 8 [phút].
Bài 4: Số trung bình cộng – Gợi ý Giải bài 14, 15, 16, 17 trang 20; bài 18 trang 21; Bài 19 trang 22 SGK Toán 7 tập 2: Số trung bình cộng [Đại số chương 3].
A. Tóm tắt lý thuyết bài Số trung bình cộng
1. Số trung bình cộng của một dấu hiệu X, kí hiệu
2. Quy tắc tìm số trung bình cộng
Số trung bình cộng của một dấu hiệu được tính từ bảng tần số theo cách sau:
– Nhân từng giá trị với tần số tương ứng
– Cộng tất cả các tích vừa tìm được
– Chia tổng đó cho các giá trị [tức tổng các tần số]
Ta có công thức:
trong đó:
- x1, x2, …, xk là k giá trị khác nhau của dấu hiệu x.
- n1, n2, …, nk là tần số tương ứng.
- N là số các giá trị.
- là số trung bình của dấu hiệu X.
3. Ý nghĩa:
Số trung bình cộng thường được dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại.
4. Mốt của dấu hiệu: Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số. Kí hiệu là M0.
B. Đáp án bài Số trung bình cộng Sách giáo khoa trang 20,21 Toán 7 tập 2
Bài 14: Hãy tính số trung bình cộng của dấu hiệu ở bài tập 9. [Xem bài 9]
Bảng “tần số” ở bài tập 9 viết theo cột:
| Giá trị [x] | Tần số [n] | Tích |
| 3 | 1 | 3 |
| 4 | 3 | 12 |
| 5 | 3 | 15 |
| 6 | 4 | 24 |
| 7 | 5 | 35 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| 10 | 5 | 50 |
| N = 35 | Cộng: 254 |
Vậy số trung bình cộng ¯X là: ¯X = 254/35 ≈ 7,26.
Bài 15 trang 20: Nghiên cứu “tuổi thọ” của một loại bóng đèn, người ta đã chọn tùy ý 50 bóng và bật sáng liên tục cho tới lúc chúng tự tắt. “Tuổi thọ” của các bóng [tính theo giờ] được ghi lại ở bảng 23 [làm tròn đến hàng chục] :
| Tuổi thọ [x] | 1150 | 1160 | 1170 | 1180 | 1190 | |
| Số bóng đèn tương ứng [n] | 5 | 8 | 12 | 18 | 7 | N=50 |
a] Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là gì và số các giá trị là bao nhiêu ?
b] Tính số trung bình cộng.
c] Tìm mốt của dấu hiệu.
HD: a] + Dấu hiệu: Thời gian cháy sáng liên tục cho tới lúc tự tắt của bóng đèn tức “tuổi thọ” của một loại bóng đèn.
+ Số các giá trị: N = 50
Số trung bình cộng của tuổi thọ các bóng đèn đó là:
¯X = 1172,8 [giờ]
c] Tìm mốt của dấu hiệu:
Ta biết mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng. Mà tần số lớn nhất trong bảng là 18.
Vậy mốt của dấu hiệu bằng 1180 hay M0 = 1180.
Bài 16 trang 20 Toán 7: Quan sát bảng “tần số” [bảng 24] và cho biết có nên dùng số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu không ? Vì sao ?
HD: Ta có số trung bình cộng của các giá trị trong bảng là:
Số trung bình cộng này không làm “đại diện” cho dấu hiệu vì chênh lệch quá lớn so với 2; 3; 4. Các giá trị khác nhau của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn 2, 3, 4 so với 100, 90.
Cách 2: Quan sát bảng “tần số” bảng 24 ta thấy có sự chênh lệch rất lớn giữa các giá trị của dấu hiệu [VD: 2 và 100]. Do vậy, không nên dùng số trung bình cộng làm đại diện cho dấu hiệu.
– Tần số lớn nhất là 3, giá trị ứng với tần số 3 là 2. Vậy M0 = 2.
Bài 17 trang 20: Theo dõi thời gian làm một bài toán [tính bằng phút] của 50 học sinh, thầy giáo lập được bảng 25:
| Thời gian [x] | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| Tần số [n] | 1 | 3 | 4 | 7 | 8 | 9 | 8 | 5 | 3 | 2 | N = 50 |
a] Tính số trung bình cộng.
b] Tìm mốt của dấu hiệu.
Giải: a] Số trung bình cộng về thời gian làm một bài toán của 50 học sinh.
b]Tần số lớn nhất là 9, giá trị ứng với tần số 9 là 8. Vậy Mốt của dấu hiệu: M0 = 8 [phút].
Bài 18: Đo chiều cao của 100 học sinh lớp 6 [đơn vị đo: cm] và được kết quả theo bảng 26:
| Chiều cao [Sắp xếp theo khoảng] | Tần số [n] |
| 105 | 1 |
| 110-120 | 7 |
| 121-131 | 35 |
| 132-142 | 45 |
| 143-153 | 11 |
| 155 | 1 |
| N=100 |
a] Bảng này có gì khác so với những bảng “tần số” đã biết ?
b] Ước tính số trung bình cộng trong trường hợp này.
Giải: a] Bảng này có khác so với bảng tần số đã học.
Các giá trị khác nhau của biến lượng được “phân lớp” trong các lớp đều nhau [10 đơn vị] mà không tính riêng từng giá trị khác nhau.
b] Số trung bình cộng
GTLN của khoảng này là 120, GTNN của 110-120 là 110 => Trung bình là [110+120]:2 = 115.
Tương tự các em tính trung bình của các khoảng còn lại.
Để tiện việc tính toán ta kẻ thêm vào sau cột chiều cao là cột số trung bình cộng của từng lớp; sau cột tần số là cột tích giữa trung bình cộng.
| Chiều cao | Trung bình cộng của mỗi lớp | Tần số | Tích giữa trung bình cộng mỗi lớp với tần số |
| 105 | 105 | 1 | 105 |
| 110-120 | 115 | 7 | 805 |
| 121-131 | 126 | 35 | 4410 |
| 132-142 | 137 | 45 | 6165 |
| 143-153 | 148 | 11 | 1628 |
| 155 | 155 | 1 | 155 |
Số trung bình cộng:
= 132,68 [cm].
Bài 19 trang 22 : Số cân nặng [tính bằng kilôgam] của 120 em của một trường mẫu giáo ở thành phố A được ghi lại trong bảng 27:
Hãy tính số trung bình cộng [có thể sử dụng máy tình bỏ túi].
HD: Bảng tần số về số cân nặng của 120 em của 1 trường mẫu giáo
| Số cân nặng xn[kg] | Tần số n | Tích |
| 15 | 2 | 30 |
| 16 | 6 | 96 |
| 16,5 | 9 | 148,5 |
| 17 | 12 | 204 |
| 17,5 | 12 | 210 |
| 18 | 16 | 288 |
| 18,5 | 10 | 185 |
| 19 | 15 | 285 |
| 19,5 | 5 | 97,5 |
| 20 | 17 | 340 |
| 20,5 | 1 | 20,5 |
| 21 | 9 | 189 |
| 21,5 | 1 | 21,5 |
| 23,5 | 1 | 23,5 |
| 24 | 1 | 24 |
| 25 | 1 | 25 |
| 28 | 2 | 56 |
| N=120 | 2243,5 |