Phương trình nghiệm nguyên chứa ẩn ở số mũ
|
Show
Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên. Đang xem: Phương trình nghiệm nguyên dạng mũ y2 – 2×2 = 1 Hướng dẫn: Ta có y2 – 2×2 = 1 ⇒ y2 = 2×2 +1 ⇒ y là số lẻ Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2×2 + 1 ⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105 Hướng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn 2|x| + y + x2 + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x| lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0 Thay x = 0 vào phương trình ta được (5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0 ⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac{26}{5}$ ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình II. Xem thêm: Khai Giảng Khóa Học Đấu Thầu Cơ Bản, Lịch Khai Giảng Các Khóa Đào Tạo Đấu Thầu Xem thêm: khóa học revit mep nâng cao Phương pháp 2 : Phương pháp phân tíchThực chất là biến đổi phương trình về dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2 Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4×3+6×2+4x +1- y2=1 ⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2> <(x+1)2+y>= 1 ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=1\(x+1)_{{}}^{2}+y=1end{array} ight.$ hoặc $ displaystyle left{ egin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=-1\(x+1)_{{}}^{2}+y=-1end{array} ight.$ $ displaystyle left< egin{array}{l}1+y=1-y\-1+y=-1-yend{array} ight.$ ⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2 Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 ) III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạnSử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau: Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1 Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt ⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 Hướng dẫn: Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 Ta có: $ displaystyle left{ egin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2end{array} ⇒ $ displaystyle left{ egin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2end{array} ⇒ 5 x1 + 5×2 – x1x2 = 23 ⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2) ⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2 thay vào phương trình ta tìm được các cặp số (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình X. Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thứcVí dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 –xy + y2 = 3 Hướng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle frac{y}{2}$)2 = 3 – $ displaystyle frac{3y_{{}}^{2}}{4}$ Ta thấy (x- $ displaystyle frac{y}{2}$)2 = 3 – $ displaystyle frac{3y_{{}}^{2}}{4}$ ≥ 0 Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình
You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
thuvientoan.net xin gửi đến các bạn Phương trình nghiệm nguyên liên quan đến mũ và logarit của thầy Trần Trọng Trị. Chuyên đề này kế thừa các kĩ năng thu gọn mối quan hệ giữa các biến đã biết như: f(u) = f(v), f(u) ≤ f(v), với f là hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước; đánh giá bằng các bất đẳng thức đơn giản; .... Từ đó sử dụng các kĩ thuật cơ bản liên quan đến các biến nguyên để giải một bài toán phương trình nghiệm nguyên. Hy vọng với chuyên đề nhỏ này, sẽ giúp các em có cái nhìn rõ hơn về một số dạng toán liên quan đến phương trình nghiệm nguyên. Kèm theo tài liệu là đáp án và lời giải chi tiết cho từng câu hỏi. Hy vọng các bạn sẽ học được nhiều kiến thức bổ ích chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.  Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt. Tải tại đây. THEO THUVIENTOAN.NET Liên hệTài liệu gồm 27 trang được biên soạn bởi tác giả Trần Trọng Trị (giáo viên Toán tiếp sức chinh phục kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm học 2019 – 2020 trên kênh truyền hình Giáo dục Quốc gia VTV7), hướng dẫn phương pháp giải bài toán phương trình nghiệm nguyên liên quan đến mũ – logarit, một lớp bài toán vận dụng cao (VDC) thường xuất hiện trong đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán. 1. Dạng 1: Có đúng một biến nguyên và rút được biến nguyên này theo biến còn lại. Đến đây, ta xét hàm để tìm miền giá trị cho biến nguyên đó. 4. Dạng 4: Cả hai biến đều nguyên, rút được biến này theo biến kia đưa về bài toán tìm điểm nguyên trên các đường cong đơn giản. 5. Dạng 5: Đưa phương trình về tổng các bình phương của hai biến nguyên. 6. Dạng 6: Đưa về phương trình tích của hai biến nguyên. 7. Dạng 7: Sử dụng tính chất chia hết. 8. Dạng 8: Đếm điểm nguyên trong các hình cơ bản.
[page compression: 62.86 k/70.67 k (11.05%)] |
