Phương pháp xác định tâm đường tròn ngoại tiếp

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

1. Khái niệm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nội tiếp tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác. Có thể nói cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.

Đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\] là đường thẳng đi qua trung điểm \[M\] của \[AB\] và vuông góc với \[AB.\]  Mọi điểm \[I\] thuộc trung trực của \[AB\] đều có \[IA=IB.\]

2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Để xác định được tâm của đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các em cần ghi nhớ lý thuyết:

Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác [có thể là 2 đường phân giác]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác [có thể là giao điểm hai đường trung trực]

3. Phương pháp giải bài tập xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngọai  tiếp tam giác

Bài tập 1. Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho tam giác \[ABC\] với \[A[-2;3];B[\frac{1}{4};0];C[2;.0]\]. Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].

Bài tập 2. Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho tam giác \[ABC\] với \[A[2;6],B[-3;-4],C[5;.0]\]

1. Tam giác \[ABC\] là tam giác gì?
2. Tìm tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\]

Đáp số: \[J\left[ 2;1 \right].\]

Bài viết gợi ý:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn [O, R =OA].

II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ?

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực] do vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △ABC có tâm là điểm O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác.

Ngoài ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông ấy.

Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △MNP vuông tại P có tâm là điểm O, là trung điểm của cạnh huyền MN.

Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác do tính chất của tam giác đều.

Ví dụ: Đường tròn tròn ngoại tiếp và nội tiếp △EFG đều có tâm là điểm O vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác.

III. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực]

Ngoài ra có 2 cách để xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Cách 1:

Khi biết tọa độ 3 điểm của tam giác, cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

Bước 1: Gọi tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho là O[x, y]. Khi đó, ta có OA = OB = OC = R.

Bước 2: Tọa độ tâm O[x, y] là nghiệm của hệ phương trình \[\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}\]. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm O[x, y] của đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho.

Cách 2:

Bước 1: Thiết lập phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

Bước 2: Giao điểm của hai đường trung trực vừa viết trên chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Cho △ABC với A[1;2], B[-1;0], C[3;2]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC.

Lời giải tham khảo:

Gọi O[x, y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC, ta có:

\[\overrightarrow{OA} = [1-x;2-y]\] ⇒ \[OA= \sqrt{[1-x]^2 + [2-y]^2}\]

\[\overrightarrow{OB} = [-1-x;-y]\] ⇒ \[OB= \sqrt{[-1-x]^2 + y^2}\]

\[\overrightarrow{OC} = [3-x;2-y]\] ⇒ \[OC= \sqrt{[3-x]^2 + [2-y]^2}\]

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC nên ta có:

\[OA=OB=OC⇔\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}⇔\begin{cases}[1-x]^2 + [2-y]^2 =[-1-x]^2 + y^2 \\ [1-x]^2 + [2-y]^2= [3-x]^2 + [2-y]^2 \end{cases}\]

\[⇔\begin{cases}x = 2 \\ y= -1 \end{cases}\]

Tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC là O[2;-1].

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em phương pháp, cách xác định tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác qua các khái niệm.

Để không bị nhầm lẫn và hiểu rõ hơn về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác thì các em cần tìm hiểu qua các khái niệm.

1. Khái niệm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

– Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nộitiếp tam giác.

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC

–Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác. Có thể nói cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.

Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC

2. Cáchxác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Để xác định được tâm của đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các em cần ghi nhớ lý thuyết:
– Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường PHÂN GIÁC TRONG của tam giác [có thể là 2 đường phân giác]
– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường TRUNG TRỰC của ba cạnh tam giác [có thể là giao điểm hai đường trung trực]

• Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán 9 năm học 2017-2018

• 268 bài toán nâng cao lớp 9 có đáp án

• Khái niệm, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

• Khái niệm, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

• Công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn

• Tứ giác nội tiếp đường tròn

• Bài toán quỹ tích, cung chứa góc