Phương pháp tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
|
Cập nhật lúc: 10:18 29-07-2015 Mục tin: LỚP 12
LOẠI I: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, MỘT ĐƯỜNG THẲNG A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) bằng khoảng cách từ điểm đó tới hình vuông góc của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng)  Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng được ký hiệu là d(M;∆) H là hình chiếu vuông góc của M lên thì d(M;∆) = MH 2. Bài toán cơ bản: Nhiều bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau: Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) và khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC Cách giải Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây: Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Bài viết hướng dẫn cách xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 11 chương 3: Quan hệ vuông góc, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu hình học không gian được đăng tải trên TOANMATH.com. Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P).$ Để xác định khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$, ta sử dụng các phương pháp sau đây: Phương pháp 1 + Tìm mặt phẳng $(Q)$ chứa $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến $∆.$ + Từ $M$ hạ $MH$ vuông góc với $∆$ ($H ∈ Δ$). + Khi đó $d(M,(P)) = MH.$ Ví dụ 1: Cho hình chóp đều $S.ABC$, đáy $ABC$ có cạnh bằng $a$, mặt bên tạo với đáy một góc $α$. Tính $d(A,(SBC))$ theo $a$ và $α.$ Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$ + Ta có: $\left. \begin{array}{l} SI \bot BC\\ AI \bot BC \end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot (SAI)$ và $\widehat {SIA} = \alpha .$ + Kẻ $AH \bot SI{\rm{ (H}} \in {\rm{SI)}}$ mà $SI = (SAI) \cap (SBC)$ nên $AH \bot (SBC)$. Do đó, $d(A,(SBC)) = AH.$ + Mặt khác, xét tam giác vuông $AHI$ có: $AH = AI.\sin \alpha = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sin \alpha .$ Vậy: $d(A,(SBC)) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sin \alpha .$ Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \bot (ABCD)$, $SA=2a.$ a) Tính $d(A,(SBC))$. b) Tính $d(A,(SBD))$. Vậy $d(A,(SBD)) = \frac{{2a}}{3}.$ Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều, $(SAB) \bot (ABCD)$. Gọi $I, F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Tính $d(I,(SFC)).$ Gọi $K = FC \cap ID.$ + Kẻ $IH \bot SK{\rm{ (H}} \in {\rm{K) (1)}}.$ + Ta có: $\left. \begin{array}{l} (SAB) \bot (ABCD)\\ (SAB) \cap (ABCD) = AB\\ SI \subset (SAB)\\ SI \bot AB \end{array} \right\}$ $ \Rightarrow SI \bot (ABCD).$ $ \Rightarrow SI \bot FC{\rm{ (*)}}.$ + Mặt khác, xét hai tam giác vuông $AID$ và $DFC$ có: $AI = DF$, $AD = DC.$ Suy ra $\Delta AID = \Delta DFC$ $ \Rightarrow \widehat {AID} = \widehat {DFC},\widehat {ADI} = \widehat {DCF}.$ Mà $\widehat {AID} + \widehat {ADI} = {90^0}$ $ \Rightarrow \widehat {DFC} + \widehat {ADI} = {90^0}.$ Hay $FC \bot ID$ $(**).$ + Từ $(*)$ và $(**)$ ta có: $FC \bot (SID) \Rightarrow IH \bot FC$ $(2)$. Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $IH \bot (SFC)$ hay $d(I,(SFC)) = IH.$ + Ta có: $SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},ID = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},$ $\frac{1}{{D{K^2}}} = \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{F^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}}$ $ \Rightarrow DK = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$ $ \Rightarrow IK = ID – DK = \frac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}.$ Do đó $\frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{I{K^2}}} = \frac{{32}}{{9{a^2}}}$ $ \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt 2 }}{8}.$ Vậy $d(I,(SFC)) = \frac{{3a\sqrt 2 }}{8}.$ Phương pháp 2 + Qua $M$, kẻ $∆ // (P)$. Ta có: $d(M,(P)) = d(∆,(P)).$ + Chọn $N \in \Delta $. Lúc đó ${\rm{d}}\left( {{\rm{M}},\left( {\rm{P}} \right)} \right) = {\rm{d}}(\Delta ,{\rm{(P)) = d}}\left( {N,\left( {\rm{P}} \right)} \right)$. Ví dụ 4: Cho lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$, $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a,AD = a\sqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A’$ trên $(ABCD)$ trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính $d(B’,(A’BD)).$ Vậy: $d(B’,(A’BD)) = CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.$ Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat {ABC} = {30^0}$, $\Delta SBC$ là tam giác đều cạnh $a$, $(SBC) \bot (ABC)$. Tính $d(C,(SAB))$. Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}.$ Phương pháp 3 + Nếu $MN \cap (P) = I$. Ta có: $\frac{{{\rm{d}}\left( {{\rm{M}},\left( {\rm{P}} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\left( {N,\left( {\rm{P}} \right)} \right)}} = \frac{{MI}}{{NI}}$. + Tính ${\rm{d}}\left( {N,\left( {\rm{P}} \right)} \right)$ và $\frac{{MI}}{{NI}}$. + ${\rm{d}}\left( {{\rm{M}},\left( {\rm{P}} \right)} \right) = \frac{{MI}}{{NI}}.{\rm{d}}\left( {N,\left( {\rm{P}} \right)} \right)$. Chú ý: Điểm $N$ ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ $N$ đến mặt phẳng $(P)$ dễ hơn tìm khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P).$ Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB = AD = a$, $CD = 2a$, $SD \bot (ABCD)$, $SD = a.$ a) Tính $d(D,(SBC)).$ b) Tính $d(A,(SBC)).$ Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC.$ a) Trong mặt phẳng $(SBD)$ kẻ $DH \bot SB,{\rm{ (H}} \in {\rm{SB) (1)}}.$ + Vì $BM = AD = \frac{1}{2}CD \Rightarrow $ Tam giác $BCD$ vuông tại $B$ hay $BC \bot BD{\rm{ (*)}}$. Mặt khác, vì $SD \bot (ABCD) \Rightarrow SD \bot BC{\rm{ (**)}}.$ Từ $(*)$ và $(**)$ ta có: $BC \bot (SBD) \Rightarrow BC \bot DH{\rm{ (2)}}.$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $DH \bot (SBC)$ hay $d(D,(SBC)) = DH.$ + Xét tam giác vuông $SBD$ có: $\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{D^2}}} + \frac{1}{{B{D^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}}$ $ \Rightarrow DH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$ Vậy $d(D,(SBC)) = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$ b) Ta có: $\frac{{d(A,(SBC))}}{{d(D,(SBC))}} = \frac{{AE}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow d(A,(SBC)) = \frac{1}{2}d(d,(SBC))$ $ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$ Vậy $d(A,(SBC)) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$ Ví dụ 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $BA = 3a$, $BC = 4a$, $(SBC) \bot (ABC)$, $SB = 2a\sqrt 3 ,\widehat {SBC} = {30^0}$. Tính $d(B,(SAC))$. Vậy $d(B,(SAC)) = \frac{{6a}}{{\sqrt 7 }}.$
|
