Nếu cách tính xác suất bằng công thức Bernoulli

Cho n phép thử được thực hiện đối với sự kiện A. Hãy giới thiệu các sự kiện: Аk - sự kiện А được thực hiện trong bài kiểm tra thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $. Khi đó $ \ bar [A] _ [k] $ là sự kiện ngược lại [sự kiện A không xảy ra trong lần kiểm tra thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $].

Các bài kiểm tra tương tự và độc lập là gì

Sự định nghĩa

Các phép thử được gọi là cùng loại liên quan đến sự kiện A nếu xác suất của các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ trùng nhau: $ P [A1] = P [A2] = \ dot = P [An] $ [tức là xác suất xảy ra các sự kiện A trong một lần thử là không đổi trong tất cả các lần thử].

Rõ ràng là trong trường hợp này các xác suất sự kiện ngược lại cũng khớp: $ P [\ bar [A] _ [1]] = P [\ bar [A] _ [2]] = ... = P [\ bar [A] _ [n]] $.

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là độc lập đối với sự kiện A nếu các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ là độc lập.

Trong trường hợp này

Trong trường hợp này, sự bình đẳng được giữ nguyên khi thay thế bất kỳ sự kiện Аk nào bằng $ \ bar [A] _ [k] $.

Cho trong mối quan hệ với sự kiện A một chuỗi n tương tự kiểm tra độc lập... Chúng tôi giữ nguyên các ký hiệu: p - xác suất xuất hiện của sự kiện A trong một phép thử; q là xác suất của biến cố ngược lại. Do đó, P [Ak] = p, $ P [\ bar [A] _ [k]] = q $ với k bất kỳ và p + q = 1.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử, sự kiện A xảy ra đúng k lần [0 k n] được tính theo công thức:

$ P_ [n] [k] = C_ [n] ^ [k] p ^ [k] q ^ [n-k] $ [1]

Đẳng thức [1] được gọi là công thức Bernoulli.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử độc lập loại đơn, sự kiện A sẽ xảy ra ít nhất k1 lần và không quá k2 lần được tính theo công thức:

$ P_ [n] [k_ [1] \ le k \ le k_ [2]] = \ sum \ limit _ [k = k_ [1]] ^ [k_ [2]] C_ [n] ^ [k] p ^ [k] q ^ [nk] $ [2]

Áp dụng công thức Bernoulli cho giá trị lớn n dẫn đến các phép tính rườm rà, vì vậy trong những trường hợp này tốt hơn là sử dụng các công thức khác - tiệm cận.

Tổng quát về lược đồ Bernoulli

Hãy xem xét một bản tổng quát của lược đồ Bernoulli. Nếu trong một chuỗi n phép thử độc lập, mỗi phép thử có m kết quả không tương thích từng cặp và có thể xảy ra Аk với các xác suất tương ứng Рk = рk [Аk]. Khi đó công thức phân phối đa thức là hợp lệ:

ví dụ 1

Xác suất mắc bệnh cúm trong thời kỳ có dịch là 0,4. Tìm xác suất để trong 6 nhân viên của công ty mắc bệnh

1. chính xác là 4 nhân viên;
2. không quá 4 nhân viên.

Dung dịch. 1] Rõ ràng, công thức Bernoulli có thể áp dụng để giải bài toán này, trong đó n = 6; k = 4; p = 0,4; q = 1-p = 0,6. Áp dụng công thức [1], ta nhận được: $ P_ [6] [4] = C_ [6] ^ [4] \ cdot 0,4 ^ [4] \ cdot 0,6 ^ [2] \ khoảng 0,138 $.

Để giải quyết vấn đề này, có thể áp dụng công thức [2], trong đó k1 = 0 và k2 = 4. Chúng ta có:

\ [\ begin [array] [l] [P_ [6] [0 \ le k \ le 4] = \ sum \ limit _ [k = 0] ^ [4] C_ [6] ^ [k] p ^ [ k] q ^ [6-k] = C_ [6] ^ [0] \ cdot 0,4 ^ [0] \ cdot 0,6 ^ [6] + C_ [6] ^ [1] \ cdot 0,4 ^ [1] \ cdot 0,6 ^ [5] + C_ [6] ^ [2] \ cdot 0,4 ^ [2] \ cdot 0,6 ^ [4] +] \\ [+ C_ [6] ^ [3] \ cdot 0,4 ^ [3] \ cdot 0,6 ^ [3] + C_ [6] ^ [4] \ cdot 0,4 ^ [4] \ cdot 0,6 ^ [2] \ khoảng 0,959.] \ end [mảng] \]

Cần lưu ý rằng nhiệm vụ này dễ giải quyết hơn khi sử dụng sự kiện ngược lại - hơn 4 nhân viên bị ốm. Sau đó, tính đến công thức [7] về xác suất của các sự kiện ngược lại, chúng ta nhận được:

Trả lời: $ \ 0,959 $.

Ví dụ 2

Có 20 bi trắng và 10 bi đen trong bình. Họ lấy ra 4 quả bóng, và mỗi quả bóng đã lấy ra được trả lại cho cái lọ trước khi bỏ quả tiếp theo và các quả bóng trong lọ được trộn lẫn. Tìm xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có 2 viên màu trắng [hình 1].

Bức tranh 1.

Dung dịch. Hãy để sự kiện A là điều đó - đã hiểu Quả bóng trắng... Khi đó các xác suất $ D [A] = \ frac [2] [3], \, \, D [\ overline [A]] = 1- \ frac [2] [3] = \ frac [1] [3] $ ...

Theo công thức của Bernoulli, xác suất yêu cầu là $ D_ [4] [2] = N_ [4] ^ [2] \ left [\ frac [2] [3] \ right] ^ [2] \ left [\ frac [ 1] [3] \ right] ^ [2] = \ frac [8] [27] $.

Trả lời: $ \ frac [8] [27] $.

Ví dụ 3

Xác định xác suất để trong một gia đình có 5 người con có không quá ba người con gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Dung dịch. Xác suất sinh con gái $ \ part = \ frac [1] [2], \, q = \ frac [1] [2] $ là xác suất sinh con trai. Trong một gia đình không quá ba con gái, nghĩa là sinh ra một hoặc hai hoặc ba gái hoặc có tất cả các bé trai trong gia đình.

Hãy tìm xác suất để trong một gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái: $ D_ [5] [0] = q ^ [5] = \ frac [1] [32] $,

\ \ \

Do đó, xác suất mong muốn là $ D = D_ [5] [0] + D_ [5] [1] + D_ [5] [2] + D_ [5] [3] = \ frac [13] [16] $ .

Trả lời: $ \ frac [13] [16] $.

Ví dụ 4

Mũi tên đầu tiên với một lần bắn có thể trúng 10 mũi tên hàng đầu với xác suất 0,6, vào mũi tên 9 với xác suất 0,3 và vào mũi tên 8 với xác suất 0,1. Xác suất để trong 10 lần bắn anh ta bắn trúng tốp 10 sáu lần, chín ba lần và tám một lần?

Xem xét Phân phối nhị thức, hãy tính toán kỳ vọng, phương sai, chế độ toán học của nó. Sử dụng hàm MS EXCEL BINOM.DIST [], chúng ta sẽ vẽ các đồ thị của hàm phân phối và mật độ xác suất. Hãy để chúng tôi ước tính tham số phân phối p, kỳ vọng toán học phân phối và độ lệch chuẩn... Cũng nên xem xét phân phối Bernoulli.

Sự định nghĩa... Hãy để nó được tổ chức n các thử nghiệm, trong mỗi thử nghiệm chỉ có 2 sự kiện có thể xảy ra: sự kiện "thành công" với một xác suất P hoặc một sự kiện thất bại với xác suất NS = 1-p [cái gọi là Đề án Bernoulli,Bernoullithử nghiệm].

Xác suất nhận được chính xác NS thành công trong những n các bài kiểm tra tương đương với:

Số lần thành công trong mẫu NS là một biến ngẫu nhiên có Phân phối nhị thức[tương tác Nhị thứcphân bổ] P và n là các tham số của phân phối này.

Nhớ lại điều đó cho ứng dụng Đề án Bernoulli và tương ứng Phân phối nhị thức, các điều kiện sau phải được đáp ứng:

• mỗi bài kiểm tra phải có đúng hai kết quả, thường được gọi là "thành công" và "thất bại".
• kết quả của mỗi thử nghiệm phải độc lập với kết quả của các thử nghiệm trước đó [tính độc lập của thử nghiệm].
• xác suất thành công P nên không đổi cho tất cả các thử nghiệm.

Phân phối nhị thức trong MS EXCEL

Trong MS EXCEL, bắt đầu từ phiên bản 2010, cho Phân phối nhị thức có một hàm BINOM.DIST [], tên tiêng Anh- BINOM.DIST [], cho phép bạn tính xác suất chính xác NS"Thành công" [tức là hàm mật độ xác suất p [x], xem công thức ở trên], và chức năng phân phối tích lũy[xác suất mà mẫu sẽ chứa NS hoặc ít thành công hơn, bao gồm cả 0].

Trước MS EXCEL 2010, EXCEL có hàm BINOMDIST [], hàm này cũng cho phép bạn tính toán Chức năng phân phối và mật độ xác suất p [x]. BINOMDIST [] được để lại trong MS EXCEL 2010 để tương thích.

Tệp ví dụ hiển thị các biểu đồ mật độ phân phối xác suất và .

Phân phối nhị thức có chỉ định NS[n; P] .

Ghi chú: Đối với tòa nhà chức năng phân phối tích lũy biểu đồ loại lý tưởng Lịch trình, vì mật độ phân phối Biểu đồ nhóm... Để biết thêm thông tin về cách xây dựng biểu đồ, hãy xem bài viết Các loại biểu đồ cơ bản.

Ghi chú: Để thuận tiện cho việc viết công thức trong tệp ví dụ, Tên cho các tham số được tạo Phân phối nhị thức: n và p.

Tệp ví dụ hiển thị các phép tính xác suất khác nhau bằng cách sử dụng các hàm MS EXCEL:

Như bạn có thể thấy trong hình trên, người ta giả định rằng:

• Tập hợp vô hạn mà từ đó mẫu được tạo ra chứa 10% [hoặc 0,1] phần tử phù hợp [tham số P, đối số hàm thứ ba = BINOM.DIST []]
• Để tính xác suất một mẫu gồm 10 phần tử [tham số n, đối số thứ hai của hàm] sẽ có đúng 5 phần tử phù hợp [đối số thứ nhất], bạn cần viết công thức: = BINOM.DIST [5; 10; 0,1; FALSE]
• Phần tử cuối cùng, thứ tư được đặt = FALSE, tức là giá trị hàm được trả về mật độ phân phối.

Nếu đối số thứ tư là TRUE, hàm BINOM.DIST [] trả về chức năng phân phối tích lũy hoặc đơn giản Chức năng phân phối... Trong trường hợp này, có thể tính xác suất để số phần tử phù hợp trong mẫu là một phạm vi nhất định ví dụ: 2 hoặc ít hơn [bao gồm cả 0].

Để làm điều này, bạn cần viết ra công thức:
= BINOM.DIST [2; 10; 0,1; TRUE]

Ghi chú: Đối với x không nguyên,. Ví dụ: các công thức sau sẽ trả về cùng một giá trị:
= BINOM.DIST [ 2 ; mười; 0,1; THẬT]
= BINOM.DIST [ 2,9 ; mười; 0,1; THẬT]

Ghi chú: Trong tệp ví dụ mật độ xác suất và Chức năng phân phối cũng được tính bằng định nghĩa và hàm NUMBERCOMB [].

Các chỉ số phân phối

V tập tin ví dụ trên trang tính Ví dụ có các công thức tính một số chỉ tiêu phân phối:

• = n * p;
• [độ lệch chuẩn bình phương] = n * p * [1-p];
• = [n + 1] * p;
• = [1-2 * p] * ROOT [n * p * [1-p]].

Hãy suy ra công thức kỳ vọng toán học Phân phối nhị thức sử dụng Đề án Bernoulli.

A-priory giá trị ngẫu nhiên X trong Đề án Bernoulli[Biến ngẫu nhiên Bernoulli] có Chức năng phân phối:

Phân phối này được gọi là Phân phối Bernoulli.

Ghi chú: Phân phối Bernoulli trương hợp đặc biệt Phân phối nhị thức với tham số n = 1.

Hãy tạo 3 mảng gồm 100 số với xác suất khác nhau thành công: 0,1; 0,5 và 0,9. Đối với điều này trong cửa sổ Tạo số ngẫu nhiên Tải về các thông số sau với mỗi xác suất p:

Ghi chú: Nếu bạn đặt tùy chọn Phân tán ngẫu nhiên [Hạt giống ngẫu nhiên], sau đó bạn có thể chọn một tập hợp ngẫu nhiên số được tạo. Ví dụ: bằng cách đặt tùy chọn này = 25, bạn có thể tạo các bộ số ngẫu nhiên giống nhau trên các máy tính khác nhau [tất nhiên, nếu các tham số phân phối khác giống nhau]. Giá trị tùy chọn có thể nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 32 767. Tên tùy chọn Phân tán ngẫu nhiên có thể gây nhầm lẫn. Sẽ tốt hơn nếu dịch nó thành Đặt số với các số ngẫu nhiên.

Kết quả là ta sẽ có 3 cột gồm 100 số, trên cơ sở đó ta có thể ước lượng xác suất thành công. P theo công thức: Số lần thành công / 100[cm. bảng tệp mẫu GenerationBernoulli].

Ghi chú: Vì Bản phân phối của Bernoulli với p = 0,5, bạn có thể sử dụng công thức = RANDBETWEEN [0; 1] phù hợp.

Tạo số ngẫu nhiên. Phân phối nhị thức

Giả sử có 7 mặt hàng bị lỗi trong mẫu. Điều này có nghĩa là "rất có thể" tỷ lệ sản phẩm bị lỗi đã thay đổi. P, đó là một đặc điểm của quy trình sản xuất của chúng tôi. Mặc dù tình huống này "rất có thể xảy ra", nhưng có khả năng xảy ra [rủi ro alpha, lỗi loại 1, "báo động sai"] tất cả đều giống nhau P không thay đổi, và số lượng mặt hàng bị lỗi tăng lên là do lấy mẫu ngẫu nhiên.

Như bạn có thể thấy trong hình bên dưới, 7 là số sản phẩm bị lỗi có thể chấp nhận được cho một quá trình với p = 0,21 ở cùng một giá trị Alpha... Điều này minh họa rằng khi giá trị ngưỡng của các mặt hàng bị lỗi trong mẫu bị vượt quá, P"Nhiều khả năng" đã tăng lên. Cụm từ "nhiều khả năng" có nghĩa là chỉ có 10% cơ hội [100% -90%] rằng độ lệch của tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trên ngưỡng chỉ là do các lý do ngẫu nhiên.

Do đó, vượt quá ngưỡng số lượng sản phẩm bị lỗi trong mẫu có thể coi là một tín hiệu cho thấy quá trình đã trở nên khó khăn và bắt đầu tạo ra b O tỷ lệ sản phẩm bị lỗi lớn nhất.

Ghi chú: Trước MS EXCEL 2010 trong EXCEL có một hàm CRITBIN [], tương đương với BIN.INV []. CRITBINOM [] còn lại trong MS EXCEL 2010 trở lên để tương thích.

Mối quan hệ của phân phối nhị thức với các phân phối khác

Nếu tham số n Phân phối nhị thức có xu hướng vô cùng, và P có xu hướng về 0, thì trong trường hợp này Phân phối nhị thức có thể được gần đúng.
Các điều kiện có thể được xây dựng khi giá trị gần đúng Phân phối Poisson hoạt động tốt:

• P0,9 [xem xét điều đó NS=1- P, các phép tính trong trường hợp này phải được thực hiện thông qua NS[Một NS cần được thay thế bằng n- NS]. Do đó, càng ít NS và hơn thế nữa n, ước tính càng chính xác].

Tại 0,1> n hoặc n / N A [\ displaystyle A] sẽ đến chính xác k [\ displaystyle k] một lần trong n [\ displaystyle n] các bài kiểm tra độc lập tương đương với: P k, n = C n k p k q n - k [\ displaystyle P_ [k, n] = C_ [n] ^ [k] \ cdot p ^ [k] \ cdot q ^ [n-k]], ở đâu q = 1 - p [\ displaystyle q = 1-p].

Bằng chứng

Hãy để nó được thực hiện n [\ displaystyle n] các bài kiểm tra độc lập và được biết rằng đó là kết quả của mỗi sự kiện kiểm tra A [\ displaystyle A]đi kèm với xác suất P [A] = p [\ displaystyle P \ left [A \ right] = p] và do đó không xảy ra với xác suất P [A ¯] = 1 - p = q [\ displaystyle P \ left [[\ bar [A]] \ right] = 1-p = q]... Theo cách tương tự, trong quá trình xác suất p [\ displaystyle p] và q [\ displaystyle q] vẫn không thay đổi. Khả năng đó là gì n [\ displaystyle n] sự kiện thử nghiệm độc lập A [\ displaystyle A] sẽ đến chính xác k [\ displaystyle k] Một lần?

Nó chỉ ra rằng bạn có thể tính toán chính xác số lượng kết hợp "thành công" của các kết quả thử nghiệm mà sự kiện A [\ displaystyle A]đến k [\ displaystyle k] một lần trong n [\ displaystyle n] các bài kiểm tra độc lập - đây chính xác là số lượng kết hợp của n [\ displaystyle n] trên k [\ displaystyle k] :

C n [k] = n! k! [n - k]! [\ displaystyle C_ [n] [k] = [\ frac [n{k!\left[n-k\right]!}}} !}.

Đồng thời, vì tất cả các bài kiểm tra đều độc lập và kết quả của chúng không tương thích [sự kiện A [\ displaystyle A] hoặc xảy ra hoặc không], thì xác suất thu được một tổ hợp "thành công" chính xác bằng:.

Cuối cùng, để tìm xác suất mà trong n [\ displaystyle n] sự kiện thử nghiệm độc lập A [\ displaystyle A] sẽ đến chính xác k [\ displaystyle k] lần, bạn cần cộng xác suất nhận được tất cả các kết hợp "thành công". Xác suất nhận được tất cả các kết hợp "thành công" là như nhau và bằng nhau p k q n - k [\ displaystyle p ^ [k] \ cdot q ^ [n-k]], số lượng kết hợp "thành công" là C n [k] [\ displaystyle C_ [n] [k]], vì vậy cuối cùng chúng tôi nhận được:

P k, n = C nk pk qn - k = C nk pk [1 - p] n - k [\ displaystyle P_ [k, n] = C_ [n] ^ [k] \ cdot p ^ [ k] \ cdot q ^ [nk] = C_ [n] ^ [k] \ cdot p ^ [k] \ cdot [1-p] ^ [nk]].

Biểu thức cuối cùng không có gì khác ngoài Công thức Bernoulli. Cũng hữu ích khi lưu ý rằng do tính đầy đủ của nhóm sự kiện, nó sẽ đúng:

k = 0 n [P k, n] = 1 [\ displaystyle \ sum _ [k = 0] ^ [n] [P_ [k, n]] = 1].

Video liên quan