Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn: Bài 3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn. Phương trình bậc nhất hai ẩn [x và y] có dạng
Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn [\[x\] và \[y\]] có dạng: \[ax + by =c\] [1] trong đó \[a, b, c\], là các số đã cho, với \[ab ≠ 0\].
Nếu có cặp số c sao cho \[a{x_0} + b{y_0} = c\] thì \[[{x_0};{y_0}]\] được gọi là một nghiệm của phương trình [1].
2. Giải và biện luận phương trình \[ax + by = c\] [\[ab ≠ 0\]]
+ Nếu \[a ≠ 0, b ≠ 0\] phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số \[[x, y]\], trong đó
\[\left\{\begin{matrix} x\in\mathbb R & \\ y=\frac{c-ax}{b}& \end{matrix}\right.\] hoặc \[\left\{\begin{matrix} y\in\mathbb R & \\ x=\frac{c-by}{a}& \end{matrix}\right.\] đều là nghiệm của phương trình.
Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số \[y = \frac{-a}{b}x+\frac{c}{a}\]. Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng \[ax + by = c\].
+ Nếu \[a = 0, b ≠ 0\] mỗi cặp số \[[x; y]\] trong đó
\[\left\{ \matrix{ x \text { là số tùy ý }\hfill \cr
y = {c \over b} \hfill \cr} \right.\]
là một nghiệm của phương trình.
Quảng cáoTập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm \[P[0; \frac{c}{b}]\].
+ Nếu \[a ≠ 0, b = 0\], tập nghiệm của phương trình là các cặp số \[[x, y]\] trong đó \[\left\{\begin{matrix} x=\frac{c}{a} & \\ y& \end{matrix}\right.\] là số tùy ý.
Đường thẳng \[x = \frac{c}{a}\] song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm \[Q[\frac{c}{a}; 0]\] biểu diễn tập nghiệm của phương trình.
3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
là hệ phương trình có dạng: [I] \[\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} [1]& \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}[2]& \end{matrix}\right.\]
trong đó [1] và [2] là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Một cặp số \[[{x_0};{y_0}]\] đồng thời là nghiệm của [1] và của [2] gọi là một nghiệm của hệ [I].
Có thể giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng đại số.
4. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Để giải ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác hoặc dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Phương trình, Hệ phương trình hay, chi tiết Toán lớp 10 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Chương 3: Phương trình, Hệ phương trình từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 10.
Lý thuyết Đại cương về phương trình
1. Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f[x] = g[x] [1]
trong đó f[x] và g[x] là những biểu thức của x. Ta gọi f[x] là vế trái, g[x] là vế phải của phương trình [1].
Nếu có số thực x0 sao cho f[xo] = g[xo] là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệm của phương trình [1].
Giải phương trình [1] là tìm tất cả các nghiệm của nó [nghĩa là tìm tập nghiệm].
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm [hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng].
2. Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình [1], ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f[x] và g[x] có nghĩa [tức là mọi phép toán đều thực hiện được]. Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình [hay gọi tắt là điều kiện của phương trình].
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
3x + 2y = x2 – 2xy + 8, [2]
4x2 – xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2 [ 3]
Phương trình [2] là phương trình hai ẩn [x và y], còn [3] là phương trình ba ẩn [x, y và z].
Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình [2] có giá trị bằng nhau, ta nói cặp [x; y] = [2; 1] là một nghiệm của phương trình [2].
Tương tự, bộ ba số [x; y; z] = [–1; 1; 2] là một nghiệm của phương trình [3].
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình [một hoặc nhiều ẩn], ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a] Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b] Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
3. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f[x] = g[x] đều là nghiệm của phương trình f1[x] = g1[x] thì phương trình f1[x] = g1[x] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f[x] = g[x]
Ta viết
f[x] = g[x] => f1[x] = g1[x].
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Bài giảng: Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai - Thầy Lê Thành Đạt [Giáo viên VietJack]
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau
Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương trình bậc hai
Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau
3. Định lí Vi–ét
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm x1, x2 thì
x1 + x2 = -
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình
x2 – Sx + P = 0.
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.
1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1. Giải phương trình |x – 3| = 2x + 1. [3]
Giải
Cách 1
a] Nếu x ≥ 3 thì phương trình [3] trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = –4.
Giá trị x = –4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.
b] Nếu x < 3 thì phương trình [3] trở thành –x + 3 = 2x + 1. Từ đó x =
Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x =
Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình [3] ta đưa tới phương trình hệ quả
[3] => [x – 3]2 = [2x + 1]2
=> x2 – 6x + 9 = 4x2 + 4x + 1
=> 3x2 + 10x – 8 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = –4 và x =
Thử lại ta thấy phương trình [3] chỉ có nghiệm là x =
2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
Ví dụ 2. Giải phương trình
Giải.
Điều kiện của phương trình [4] là x ≥
Bình phương hai vế của phương trình [4] ta đưa tới phương trình hệ quả
[4] => 2x – 3 = x2 – 4x + 4
=> x2 – 6x + 7 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + √2 và x = 3 – √2 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình [4], nhưng khi thay vào phương trình [4] thì giá trị x = 3 – √2 bị loại [vế trái dương còn vế phải âm], còn giá trị x= 3 + √2 là nghiệm [hai vế cùng bằng √2 + 1].
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình [4] là x= 3 + √2 .