Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng, hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy [giao của 2 đường chéo hình vuông], tính chất của hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông.
Giải thích lý do chọn đáp án đúng là D
– Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy [giao của 2 đường chéo hình vuông].
– Tính chất của hình chóp tứ giác đều:
+ Đáy là hình vuông;
+ Các cạnh bên bằng nhau;
+ Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau;
+ Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy [tâm đáy là giao điểm 2 đường chéo];
+ Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau;
+ Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
– Cho khối đa diện [H]. Nếu phép đốι xứng qua mặt phẳng [P] biến [H] thành chính nó. Thì [P] gọi là mặt đốι xứng của khối đa diện [H].
– Mặt phẳng đối xứng của các khối hình thường gặp:
+ Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều: Có 6 mặt đối xứng của tứ diện đều. Mỗi mặt phẳng đều chứa 1 cạnh , trung điểm cạnh đối lập .
+ Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương: Có 9 mặt đối xứng của khối lập phương, trong đó có 3 mặt phẳng đi qua trung điểm 4 cạnh song song với nhau chia khối lập phương thành 2 khối hộp chữ nhật, sáu mặt còn lại chia khối lập phương thành 2 khối lăng trụ tam giác bằng nhau .
+ Số mặt đối xứng của hình bát diện đều: Bát diện đều có tất cả 9 mặt đối xứng, trong đó có 3 mặt chia bát diện đều thành 2 khối chóp tứ giác đều mà có toàn bộ những cạnh chỉ bằng nhau, còn 6 mặt đối xứng còn lại của bát diện đều đi qua 1 cặp đỉnh đối lập, mỗi cặp đỉnh có 2 mặt .
+ Số mặt đối xứng của hình lăng trụ đứng tam giác: Số mặt đối xứng của lăng trụ đứng tam giác chỉ bằng số trục đối xứng của đáy + 1, như là lăng trụ tam giác đều cũng sẽ có 3 + 1 = 4 mặt đối xứng .
+ Số mặt đối xứng của hình hộp chữ nhật 3 chiều khác nhau: Hình hộp chữ nhật có 3 chiều khác nhau thì chỉ có 3 mặt đối xứng. Và giống 3 trường hợp đầu của hình lập phương ở trên. Tức chính là 3 mặt đó, mỗi mặt chia khối hộp chữ nhật thành 2 khối hộp chữ nhật chỉ bằng nhau.
Trong trường hợp khối hộp chữ nhật có 2 chiều bằng nhau và 1 chiều khác với 2 chiều đó. Thì ta có thêm 2 mặt đối xứng. Tổng chính là 5 mặt đối xứng.
Toán học là ngành khoa học nghiên cứu về những con số, mặt phẳng, không gian, hình học... Toán học rất quan trọng trong cuộc sống hàng ngày bởi vì nếu như không biết tính toán thì các bạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn trong cuộc sống, cơ bản nhất là những phép toán cộng, trừ, nhân, chia để sinh hoạt hàng ngày. Những hình học trong toán đều có những hình ảnh cũng như các tính chất, đặc điểm khác nhau. Và bài viết này Luật Minh Khuê đề cập đến vấn đề liên quan đến hình học đó là Hình chóp tứ giác đều là gì? Các tính chất của hình? Và hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt đối xứng?
1. Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác là một hình học ba chiều được tạo thành bằng cách kết hợp một tứ giác đáy với một điểm nằm ngoài mặt phẳng tứ giác đó và các đoạn thẳng nối từ điểm đó tới các đỉnh của tứ giác đáy. Hình chóp tứ giác có một đỉnh, một đáy là một tứ giác, và các cạnh nối từ đỉnh đến các đỉnh của đáy được gọi là cạnh bên. Hình chóp tứ giác có thể là chóp đều hoặc không đều, tùy thuộc vào độ dài và hình dạng của các cạnh và mặt của nó. Trong hình học, một hình chóp là một khối đa diện được hình thành bằng cách kết nối một điểm của một đa giác và một điểm, được gọi là đỉnh. Mỗi cạnh cơ sở và đỉnh tạo thành một hình tam giác, được gọi là mặt bên.
Hình chóp đều [hình chóp đa giác đều] là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy... Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều; các cạnh bên bằng nhau.
1.1. Khái niệm hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy [giao của 2 đường chéo hình vuông]. Hình chóp tứ giác đều là một loại hình chóp tứ giác mà đáy là một tứ giác đều và các cạnh bên đều có độ dài bằng nhau và là các tam giác cân bằng nhau. Đối với hình chóp tứ giác đều, đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác của mặt đáy đều giao nhau tại một điểm duy nhất gọi là trọng tâm.
Vì khi có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau, ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng hình chiếu của đỉnh trên đáy cũng chính là tâm của đa giác đáy. Vì ta thấy các tam giác vuông [có 1 đỉnh là đỉnh hình chóp, 1 đỉnh là hình chiếu của đỉnh trên đáy, và đỉnh còn lại là các đỉnh của đa giác đáy] là bằng nhau [do có 1 cạnh góc vuông chung là đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy, các cạnh huyền bằng nhau [là các cạnh bên của đa giác]. Từ đó thấy hình chiếu của đỉnh hình chóp trên đáy chính là giao điểm [duy nhất] của các đường trung trực của các cạnh đa giác đáy, hay chính là tâm của đáy].
1.2. Tính chất của hình chóp tứ giác đều
+ Đáy là hình vuông;
+ Các cạnh bên bằng nhau;
+ Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau;
+ Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy [tâm đáy là giao điểm 2 đường chéo];
+ Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau;
+ Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
1.3. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Ta có thể thấy trên hình: Nếu gọi I trung điểm AD và K trung điểm của BC, M trung điểm AB và N trung điểm CD
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng đó là: [SAC], [SBD], [SIK], [SMN]. Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy [giao của 2 đường chéo hình vuông], tính chất của hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông.
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD thì: ABCD là hình vuông có tâm O.
SO ⊥ [ABCD].
SA = SB = SC = SD.
[SA; [ABCD]] = [SB; [ABCD]] = [SC; [ABCD]] = [SD; [ABCD]].
2. Mặt phẳng đối xứng của các khối hình thường gặp
Định nghĩa: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng [P] biến hình [H] thành chính nó thì [P] gọi là mặt phẳng đối xứng của hình [H]
Mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều
Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều: Có 6 mặt đối xứng của tứ diện đều. Mỗi mặt phẳng đều chứa 1 cạnh, trung điểm cạnh đối lập .
Mặt phẳng đối xứng của lăng trụ tam giác đều
+ 3 mặt phẳng: chứa 1 cạnh bên và trung điểm của 2 cạnh của mặt đáy.
+ 1 mặt phẳng: Đi qua trung điểm của 3 cạnh bên
Mặt phẳng đối xứng hình chóp tứ giác đều
+ 2 mặt phẳng: chứa đỉnh và 1 đường chéo của đáy.
+ 2 mặt phẳng: đi qua trung điểm của 2 cạnh đáy đối diện và đỉnh
Mặt phẳng đối xứng của hình lập phương
+ 3 mặt phẳng: mỗi mặt phẳng chia khối lập phương thành 2 hình hộp chữ nhật.
+ 6 mặt phẳng: mỗi mặt phẳng chia khối lập phương thành 2 lăng trụ.
Mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật bất kỳ
Hình hộp chữ nhật có 3 chiều khác nhau thì chỉ có 3 mặt đối xứng. Và giống 3 trường hợp đầu của hình lập phương ở trên. Tức chính là 3 mặt đó, mỗi mặt chia khối hộp chữ nhật thành 2 khối hộp chữ nhật chỉ bằng nhau. 3 mặt phẳng: đi qua trung điểm của 4 cạnh đôi một song song.
Trong trường hợp khối hộp chữ nhật có 2 chiều bằng nhau và 1 chiều khác với 2 chiều đó. Thì ta có thêm 2 mặt đối xứng. Tổng chính là 5 mặt đối xứng.
Mặt phẳng đối xứng hình bát diện đều
Đây là hình ta thường ít gặp hơn nhưng cũng lưu ý: Số mặt đối xứng của hình bát diện đều: Bát diện đều có tất cả 9 mặt đối xứng, trong đó có 3 mặt chia bát diện đều thành 2 khối chóp tứ giác đều mà có toàn bộ những cạnh chỉ bằng nhau, còn 6 mặt đối xứng còn lại của bát diện đều đi qua 1 cặp đỉnh đối lập, mỗi cặp đỉnh có 2 mặt.
3. Một số công thức liên quan đến hình chóp tứ giác đều và bài tập vận dụng
3.1 Các công thức liên quan
- Diện tích hình chóp tứ giác đều
+ Diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
Sxq = p.d [với p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn]
+ Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy.
Ta có công thức sau đây:
Stp = Sxq + S [với S là diện tích đáy]
- Thể tích hình chóp tứ giác SABCD là:
V = 1/3 x SABCD x SO
Trong đó: SABCD là diện tích hình vuông ABCD
SO là đường cao kẻ từ O xuống tâm đáy ABCD
3.2. Một số bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Hướng dẫn giải:
Dựng SO⊥[ABCD]
Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD
=> ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông.
Ta có SA² + SB² = AB² + BC² = AC² nên ΔASC vuông tại S
Bài tập 2: Bài yêu cầu xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Biết rằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a.
Hướng dẫn giải:
Ta có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bằng a.
Suy ra ABCD là hình vuông có cạnh a, với SA = SB = SC = SD = a.
Ta gọi điểm O chính là hình chiếu của A trên hình vuông ABCD. Suy ra, điểm O là tâm của hình vuông ABCD.
Các cạnh OA, OB, OC, OD và OS bằng nhau. Điểm O chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính của mặt cầu là:
Bài tập 3: Đề bài yêu cầu chia hình chóp tứ giác đều thành 8 hình chóp bằng nhau:
Hương dẫn giải: Đối với bài tập này các bạn cần tiến hành vẽ hình chóp, chia phần đáy thành 8 tam giác bằng nhau. Tiếp đến chứng minh các hình chóp có đỉnh là đỉnh của hình chóp ban đầu, phần đáy là mỗi tam giác vừa có được nên sẽ bằng nhau. Kiến thức lý thuyết cần áp dụng là hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Vẽ hình
Ta gọi điểm O = AC giao với BD tại các điểm M, N, P, Q. Những điểm này lần lượt là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AB, BC, CD, DA. Khi đó, các tam giác AOM, BOM, BON, CON, COP, DOP. DOQ, AOQ sẽ bằng nhau.
Ta tiến hành chứng minh các hình chóp S.AOM, S.BOM, S.BON, S.CON, S.COP, S.DOP, S.DOQ, S.AOQ bằng nhau.
Xét hai hình chóp S.AOM và S.BOM có
+ SA = SB; AO = BO; BM = AM.
+ Đồng thời SO chung, SM chung và OM chung.
Do đó, hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau nên ta có 8 hình chóp bằng nhau.
Trên đây là kiến thức về hình chóp tứ giác đều và cách tính khối chóp tứ giác đều cùng những ví dụ cụ thể. Hy vọng bài viết của chúng tôi đã cung cấp cho bạn nhiều thông tin. Luật Minh Khuê trân trọng cảm ơn!