- Thể tích khối chóp: \[V = \dfrac{1}{3}Sh\] với \[S\] là diện tích đáy, \[h\] là chiều cao.
- Một phép vị tự tỉ số \[k\] biến khối đa diện có thể tích $V$ thành khối đa diện có thể tích \[V'\] thì: \[\dfrac{{V'}}{V} = {\left| k \right|^3}\]
b] Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác
Nếu \[A',B',C'\] là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh \[SA,SB,SC\] của hình chóp tam giác \[S.ABC\]. Khi đó:
Công thức trên chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác, để tính tỉ số các khối chóp \[n - \]giác thì cần chia thành các khối chóp tam giác để tính.
2. Một số dạng toán thường gặp
Phương pháp chung để tính thể tích khối chóp là tính diện tích đáy, tính chiều cao và tính thể tích theo công thức \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Dưới đây là một số khối chóp đặc biệt thường gặp:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp đều
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Dạng 4: Tính tỉ lệ thể tích các khối chóp.
Phương pháp:
- Bước 1: Chia các khối chóp cần tính tỉ lệ thể tích thành các khối chóp tam giác tương ứng với nhau.
- Bước 2: Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích các khối chóp \[\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\], ở đó \[A' \in SA,B' \in SB,C' \in SC\]
Một số công thức tính thể tích khối tứ diện thường gặp trong đề thi
- Tứ diện đều cạnh \[a\]: \[V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\].
- Tứ diện vuông [các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông]:
Tứ diện \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc và \[AB = a,AC = b,AD = c\] ta có \[V = \dfrac{1}{6}abc\].
- Công thức tính thể tích sử dụng các độ dài, khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối diện của tứ diện:
Tứ diện \[ABCD\] có \[AD = a,BC = b\], khi đó: \[V = \dfrac{1}{6}ab.\sin \left[ {AD,BC} \right].d\left[ {AD,BC} \right]\]
- Tứ diện gần đều [các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau]:
Tứ diện \[ABCD\] có \[AB = CD = a;BC = AD = b;AC = BD = c\] ta có:
\[V = \dfrac{{\sqrt {2} }}{{12}}\sqrt {\left[ {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right]\left[ {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right]} \]
Hình chóp là gì? Công thức tính thể tích khối chóp là gì? Kiến thức về khối chóp tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều? Lý thuyết và bài tập về thể tích khối chóp?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề thể tích khối chóp cùng những nội dung liên quan.
Định nghĩa hình chóp là gì?
Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này được gọi là đỉnh của hình chóp.
Nhận xét:
- Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy được gọi là đường cao của hình chóp.
- Tên gọi của hình chóp dựa vào đa giác đáy: hình chóp có đáy là tam giác gọi là hình chóp tam giác, hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.
- Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ 1 đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
- Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
Các khối chóp đặc biệt
Khi đã nắm được định nghĩa hình chóp là gì, để tìm hiểu về thể tích khối chóp, trước hết các bạn cần nắm được các khối chóp đặc biệt.
Khối chóp tứ diện đều
Là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt đều là các tam giác đều, O là trọng tâm của tam giác đáy, \[SO\perp [ABC]\]
Xem thêm >>> Thể tích tứ diện đều: Khái niệm, Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều
Khối chóp tứ giác đều
Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đa giác đáy là hình vuông tâm O, \[SO\perp [ABCD]\]
Công thức tính thể tích khối chóp
Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao:
\[V=\frac{1}{3}S.h\]
Trong đó:
- V là thể tích hình chóp.
- S là diện tích mặt đáy hình chóp.
- h là chiều cao hình chóp.
- Đơn vị đo thể tích chuẩn là mét khối \[[m^{3}]\]
Trường hợp nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy. Khi xác định chân đường cao của hình chóp cần chú ý:
- Hình chóp đều thì chân của đường cao là tâm của đáy.
- Hình chóp có mặt bên \[[SA_{i}A_{j}]\] vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao của tam giác \[[SA_{i}A_{j}]\] hạ từ S là chân đường cao của hình chóp.
- Nếu có hai mặt phẳng đi qua đỉnh và cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với đáy.
- Nếu các cạnh bên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Nếu các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Các dạng toán và bài tập tính thể tích khối chóp
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ: Cho hình chóp \[[S.ABC]\] có \[SB=SC=CB=CA=a\]. Hai mặt bên \[[ABC], [ASC]\] cùng vuông góc với mặt đáy \[[SBC]\] Tính thể tích hình chóp.
Cách giải:
Ta có:
\[\left\{\begin{matrix} [ABC]& \perp&[SBC] \\ [ASC]& \perp & [SBC] \end{matrix}\right.\]
\[\Rightarrow AC\perp [SBC]\]
Suy ra, \[V=\frac{1}{3}S_{SBC}.AC=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}\]
Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Bài tập: Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông có cạnh a. Mặt bên \[SAB\] là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \[[ABCD]\].
- Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
- Tính thể tích khối chóp
Cách giải:
- Gọi H là trung điểm của AB.Ta có: \[\bigtriangleup SAB\] đều \[\Rightarrow SH \perp AB\]
Mà: \[[SAB]\perp [ABCD] \Rightarrow SH\perp [ABCD]\]
Do đó H là chân đường cao của khối chóp. Suy ra, điều phải chứng minh
2. Tam giác SAB đều nên ta có: \[SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Suy ra \[V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}\]
Dạng 3: Khối chóp đều – Tính thể tích khối tứ diện đều
Bài tập: Cho khối chóp tứ diện đều \[ABCD\] cạnh a, \[M\] là trung điểm \[DC\].
- Tính thể tích khối tứ diện đều \[ABCD\]
- Tính khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[[ABC]\]. Tính thể tích khối chóp \[MABC\]
Cách giải:
- Gọi O là tâm của tam giác \[ABC\], suy ra \[DO\perp [ABC]\]
Ta có: \[DO=\sqrt{DC^{2}-OC^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\]
\[S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\]
Suy ra \[V=\frac{1}{3}.DO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}\]
2. Kẻ MH//DO.
Khoảng cách từ từ \[M\] đến \[[ABC]\] là: \[d[M;[ABC]]=MH=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\]
Suy ra: \[V_{MABC}=\frac{1}{3}.MH.S_{ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}\]
Xem thêm >>> Công thức tính diện tích tam giác đều và Bài tập điển hình
Trong bài viết trên, DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức về chuyên đề thể tích khối chóp. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những thông tin hữu ích. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
[Nguồn: www.youtube.com]
Please follow and like us: