Giáo trình Toán rời rạc do GS. Nguyễn Hữu Anh biên soạn, cung cấp cho người học những kiến thức như: cơ sở logic; phương pháp đếm; quan hệ; đại số bool và hàm bool. Mời các bạn cùng tham khảo! | HỮU ANH TOAÙN RÔØI RAÏC NHÀ XUẤT BẢN LAO ĐỘNG XÃ HỘI MỤC LỤC CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LOGIC . 4 1 PHÁP TÍNH MỆNH ĐỀ . 4 2 DẠNG MỆNH ĐỀ . 7 3 QUY TẮC SUY DIỄN .12 4 VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ .18 5 NGUYÊN LÝ QUY NẠP .23 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 .25 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP 1 TẬP HỢP .36 2 ÁNH XẠ .38 3 PHÉP ĐẾM .40 4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP .45 5 NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU .48 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 .50 CHƯƠNG 3 QUAN 1 QUAN HỆ .57 2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG .60 3 THỨ TỰ .62 4 DÀN .66 5 DÀN 2 .69 6 DÀN .70 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .76 CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL .83 1 ĐẠI SỐ BOOL .83 2 HÀM BOOL .88 3 MẠNG CÁC CỔNG VÀ CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU .92 4 PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH .96 5 PHƯƠNG PHÁP THỎA THUẬN. 104 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 . 110 GIẢI ĐÁP MỘT SỐ BÀI TẬP . 114 GS. Nguyễn Hữu Anh 2 GS. Nguyễn Hữu Anh 3 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LOGIC 1 PHÁP TÍNH MỆNH ĐỀ Trong toán học ta quan tâm đến những mệnh đề có giá trị hân lý xác định đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai . Các khẳng định như vậy được gọi là mệnh đề. Các mệnh đề đúng được nói là có giá trị chân lý đúng hay chân trị đúng các mệnh đề sai được nói là có chân trị sai. Ví dụ 1. Các khẳng định sau là mệnh đề Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc cho ngành Tin học. 1 1 2. 4 là số nguyên tố. Hai mệnh đề đầu có chân trị 1 mệnh đề thứ ba có chân trị 0. 2. Các khẳng định dưới dạng tán than hoặc mệnh lệnh không phải mệnh đề vì nó không có chân trị xác định. 3. Khẳng định là số nguyên tố không phải mệnh đề. Tuy nhiên nếu thay n bằng một số nguyên cố định thì ta sẽ có một mệnh đề chẳng hạn với 3 ta có một mệnh đề đúng trong khi với 4 ta có một mệnh đề sai. Khẳng định này được gọi là một vị từ và cũng là đối tượn khảo sát của logic. Ta thường ký hiệu các mệnh đề bởi các chữ và chân trị đúng sai được ký hiệu bởi 1 0 . Đôi khi ta còn dùng các ký hiệu để chỉ chân trị đúng và dể chỉ chân trị sai. Phân tích kỹ các ví dụ ta thấy các mệnh đề được chia ra làm 2 loại Các mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại bằng các liên từ và hay nếu thì hoặc
Trong phần này, nhóm tác giả trình bày cụ thể và chi tiết hơn về FDI tại Việt Nam sau hơn ba thập kỷ dựa trên các tiêu chí bao gồm những sự kiện nổi bật, thực trạng và triển vọng.
Đặt vấn đề: Bên cạnh y đức, tính chuyên nghiệp trong y khoa là một trong những năng lực cốt lõi của Điều Dưỡng tác động trực tiếp đến hiệu quả chăm sóc quản lý người bệnh. Do đó, việc xác định mức độ nhận thức của điều dưỡng về tính chuyên nghiệp là nhu cầu cấp thiết trong xây dựng chương trình huấn luyện tính chuyên nghiệp cho điều dưỡng hiệu quả và hội nhập khu vực. Mục tiêu: Xác định mức độ nhận thức của sinh viên và cựu sinh viên với các giá trị cốt lõi tính chuyên nghiệp và sự khác biệt về mức độ nhận thức về giá trị cốt lõi tính chuyên nghiệp trong hai nhóm. Phương pháp nghiên cứu: thiết kế mô tả cắt ngang từ 01/10/2020 đến 20/02/2021, thực hiện trên 208 sinh viên và 88 cựu sinh viên khoa Điều Dưỡng tại trường Đại Học Quốc Tế Miền Đông, tỉnh Bình Dương sử dụng bảng câu hỏi tính chuyên nghiệp trong y khoa áp dụng thang likert 1-5 gồm 6 thành tố đo lường tính chuyên nghiệp. Hệ số Cronbach’s Alpha của toàn thang đo 0,91 để đánh giá nhận thức các giá trị cốt lõi tính chuyên nghiệp...
Hiện nay, tại chùa Bảo Ninh Sùng Phúc [huyện Chiêm Hóa, Tuyên Quang] còn lưu giữ được tấm bia cổ duy nhất thuộc các tỉnh miền núi phía Bắc nước ta có niên đại từ thời nhà Lý. Nội dung văn bia chép về dòng họ Hà và những đóng góp của dòng họ này đối với vùng đất Vị Long nói riêng và đất nước nói chung ở thế kỷ XI - XII. Trong đó phải kể đến công lao to lớn của nhân vật lịch sử Hà Di Khánh.
TÓM TẮT Nghiên cứu này nhằm mục đích đánh giá khả năng kháng khuẩn của hệ vật liệu nano tổ hợp mang kháng sinh Ag-TiO2-Doxycycline-Alginate [TiO2 - Ag/ DO /Alg] đối với vi khuẩn Vibrio parahaemolyticus - tác nhân chính gây bệnh hoại tử gan tụy cấp trên tôm Chân trắng. Trong nghiên cứu này, hệ vật liệu nano TiO2- Ag/ DO /Alg được tổng hợp tại Viện Khoa học Vật liệu – Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Chủng vi khuẩn Vibrio parahaemolyticus được phân lập từ 60 mẫu tôm bệnh trên cơ sở triệu chứng bệnh, đặc điểm hình thái và đặc điểm sinh thái. Kết quả thử nghiệm cho thấy hệ nano TiO2-Ag /DO/Alg có hiệu lực diệt khuẩn V. parahaemolyticus tốt và vượt trội hơn kháng sinh DO thông thường [p 0] Then Writeln [‘giá trị của ∀+ ̀= ’,∀+ ̀] End; b] ̀:= 3; For Ḁ:= 1 to 10 do Begin ∀: = ̀ − Ḁ; ̀: = ̀+ 2∗ Ḁ; I f ∀> 0 Then I f ̀> 0 Then Writeln [‘giá trị của ∀+ ̀= ’,∀+ ̀] End; Rõ ràng cả hai đoạn chương trình trên đều có cùng Output là hai dòng: giá trị của ∀+ ̀ = giá trị của ∀+ ̀ = Tuy nhiên trong chương trình a] ta cần 20 lần so sánh [10 lầ so sánh ∀> 0 và 10 lần so sánh ̀> 0], trong khi chương trình b] ta chỉ cần 12 lần so sánh [10 lần so sánh ∀> 0 và 2 lần so sánh ̀> 0 ứng với Ḁ= 1,2]. Như thế chương trình b] chạy có hiệu quả hơn. Ví dụ trên đây cho thấy một mặt cần phân biệt ∀ → Ḁ và lệnh ∀Ḁ ∀ ̀ℎḀḀ Ḁ, mặt khác ta cần nắm rõ các dạng tương đương của dạng mệnh đề để thực hiện lệnh ∀Ḁ ∀ ̀ℎḀḀ Ḁ có hiệu quả hơn. Chẳng hạn nhiều chương trình biên dịch lợi dụng tương đương logic 1.2 để thay lệnh ∀Ḁ ∀ ̀ℎḀḀ [ ∀Ḁ Ḁ ̀ℎḀḀ Ḁ]. Ở đây lại xảy ra nghịch lý là lệnh ∀Ḁ [ ∀˄Ḁ] ̀ℎḀḀ Ḁ lại được thay thế bằng lệnh ∀Ḁ Ḁ ̀ℎḀḀ [ ∀Ḁ ∀ ̀ℎḀḀ Ḁ] mà trong ví dụ trên ta cần đến 20 lần so sánh. Như thế phải cẩn thận khi sử dụng tương đương logic hiển nhiên [luật giao hoán] giữa ∀˄Ḁ và Ḁ˄Ḁ.
Dưới đây là một số quy tắc suy diễn thường dùng mà chân lý có thể dược kiểm tra dễ dàng bằng cách lập bảng chân trị. Quy tắc Modus Ponens [Phương pháp khẳng định] Quy tắc này được thể hiện bởi hằng đúng [[ ∀ → Ḁ] ∧ ∀] → Ḁ [1.3] hoặc dưới dạng sơ đồ ∀ → Ḁ ∀ Ḁ Ví dụ: Nếu Minh học chăm thì Minh đạt Toán rời rạc Mà Minh học chăm Suy ra Minh đạt Toán rời rạc. Thật ra trong quy tắc Modus Ponens, mệnh đề p→q thường có dạng tổng quát hơn “với bất kỳ sinh viên X nào, nếu X học chăm thì X đạt Toán rời rạc” và ta đã đặc biệt hóa nó cho trường hợp X= sinh viên Minh. Các phép đặc biệt hóa sẽ được xem xét trong phần vị từ và lượng từ. Một ví dụ cổ điển khác của Qui tắc Modus ponens là: Mọi người đều chết mà Socrate là người vậy Socrate sẽ chết. Thường thì quy tắc Modus Ponens được áp dụng cùng với quy tắc thay thế để đơn giản hóa các bước suy luận. Chẳng hạn ta có phép suy diễn Ḁ ∨ ∀ [ Ḁ ∨ ∀] → [ ¬ ̀ ∧ ] ∀ → Ḁ Ở đây Quy tắc Modus Ponens [dạng mệnh đề 1.3] được áp dụng cùng với phép thay thế ∀ bởi Ḁ˅∀ và q bởi ¬ ̀˄. Tam đoạn luận [ Syllogism] được thể hiên bởi hằng đúng ∀ → Ḁ Ḁ → Ḁ ∀ → Ḁ Ví dụ: 1. Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì chúng có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau. Hai tam giác có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau thì chúng bằng nhau. Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì chúng bằng nhau.
- Xét tam đoạn luận Một con ngựa rẻ thì hiếm Cái gì hiếm thì đắt Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt Tam đoạn luân trên hoàn toàn hợp logic. Tuy nhiên kết luận mâu thuẫn là do dựa trên một tiền đề sai.
- Ta hãy xét một ví dụ trong đó có sử dụng cả hai quy tắc trên Bình đi chơi thì Bình không học Toán rời rạc Bình không học Toán rời rạc thì Bình trượt Toán rời rạc Mà Bình thích đi chơi Vậy Bình trượt Toán rời rạc. Nếu trừu tượng hóa các med nguyên thủy thành các biến mệnh đề p, q, r thì lý luận trên có dạng ∀ →¬ Ḁ ¬ Ḁ → Ḁ ∀ Ḁ Ta có thể suy luận như sau: ∀ →¬ Ḁ ¬ Ḁ → Ḁ ∀ → Ḁ [Tam đoạn luận] mà ∀ Ḁ [Modus Ponens] hoặc là ∀ →¬ Ḁ ∀ ¬ Ḁ [Modus Ponens] mà ¬ Ḁ → Ḁ Ḁ [Modus Ponens] Quy tắc Modus Tollens [Phương pháp phủ định] Phương pháp này được thể hiện bởi hằng đúng [ [ ∀ → Ḁ] ∨¬ Ḁ] →¬ ∀
Như thế ta thêm vào các tiền đề hai giả thiết phụ ¬ r và ¬ s và tìm cách chứng minh suy luận sau là đúng: ∀ → Ḁ ¬ ∀ → Ḁ Ḁ → ∀ ¬ Ḁ ¬ ∀ 0 Ta có các bước sau đây ¬ ∀ → Ḁ Ḁ → ∀ ¬ ∀ → ∀ [Tam đoạn luận] mà ¬ ∀ ¬ [¬ ∀] [Phương pháp phủ định] hay tương đương ∀ mà ∀ → Ḁ Ḁ [Phương pháp khẳng định] Kết luận Ḁ cùng với giả thiết phụ ¬ Ḁ cho ta: Ḁ ∧¬ Ḁ ⟺ 0 Do đó theo phương pháp phản chứng, chứng minh ban đầu là đúng. Quy tắc chứng minh theo trường hợp Quy tắc này được thể hiện bởi hằng đúng sau: [[ ∀ → Ḁ] ∧[ Ḁ → Ḁ] ] →[[ ∀ ∨ Ḁ] → Ḁ] Ý nghĩa của quy tắc này là một giả thiết có thể tách thành hai trường hợp ∀ đúng hay q đúng, và ta đã chứng minh được riêng rẻ cho từng trường hợp là kết luận Ḁ đúng, khi ấy Ḁ cũng đúng trong cả hai trường hợp. Ví dụ: Để chứng minh rằng Ḁ[ Ḁ] = ḀḀ+ 2Ḁ luôn chia hết cho 3 ta viết Ḁ[ Ḁ] = Ḁ[ Ḁa/c+ 2] và lấy n là một số nguyên tùy ý. Khi ấy có hai trường hợp xảy ra: Ḁ chia hết cho 3: khi ấy rõ ràng f[n] cũng chia hết cho 3. Ḁ không chia hết cho 3, khi ấy ta có thể viết Ḁ= 3∀± 1 với một số nguyên k nào đó. Ta có Ḁa/c+ 2 = [ 3∀± 1] a/c + = 9 ∀a/c ± 6 ∀ + 3 = 3[3∀a/c ± 2 ∀+ 1] Suy ra Ḁ[ Ḁ] = Ḁ[ Ḁ 2 + 2] cũng chia hết cho 3. Như vậy trong mọi trường hợp Ḁ[ Ḁ] chia hết cho 3.
Ta hãy xem một ví dụ trong đó có sử dụng nhiều quy tắc: Nếu nghệ sĩ Văn Ba không trình diễn hay số vé bán ra ít hơn 50 thì đêm diễn sẽ bị hủy bỏ và ông bầu rất buồn. Nếu đêm biểu diễn bị hủy bỏ thì phải trả lại tiền vé cho người xem. Nhưng tiền vé đã không được trả lại cho người xem. Vậy nghệ sĩ Văn Ba có trình diễn. Ta thay các mệnh đề nguyên thủy bằng các biến mệnh đề ∀: “nghệ sĩ Văn Ba đã trình diễn” Ḁ: “số vé bán ra ít hơn 50” Ḁ: “đêm diễn sẽ bị hủy bỏ” ̀: “trả lại tiền vé cho người xem” Khi ấy lý luận cần chứng minh là [ ¬ ∀ ∨ Ḁ] → [ Ḁ ∧ ∀] Ḁ → ̀ ¬ ̀ ∀ Suy luận trên có thể được thực hiên theo các bước sau: ¬ ∀ ∨ Ḁ → Ḁ ∧ ∀ [Tiền đề] Ḁ ∧ ∀ → Ḁ [hằng đúng gọi là phép đơn giản nối liền] Ḁ → ̀ [Tiền đề] ¬ ∀ ∨ Ḁ → ̀ [Tam đoạn luân mở rộng] mà ¬ ̀ [Tiền đề] ¬ [¬ ∀ ∨ Ḁ] [Phương pháp phủ định] hay ∀ ∧¬ Ḁ [Quy tắc De Morgan và phủ định của phủ định] mà ∀ ∧¬ Ḁ → ∀ [Phép đơn giản nối liền] ∀ [Phương pháp khẳng định] Phản ví dụ Bây giờ ta hãy xem một bài toán ngược: khi nào một chứng minh [suy luận] là sai, nghĩa là phải kiểm tra [∀ 1 ∀ 2 ... ∀n ¬ Ḁ] → Ḁ không phải là một hằng đúng. Nói cách khác tìm các chân trị của biến mệnh đề làm cho các tiền đề đều đúng trong khi kết luận q là sai. Ta nói ví dụ dẫn đến các giá trị của biến mệnh đề như trên là một phản ví dụ của định lý cần chứng minh. Ví dụ: hãy tìn phản ví dụ cho suy luận dưới đây Ông Minh đã khẳng định rằng nếu không được tăng lương thì ông ta sẽ xin nghĩ việc. Mặt khác nếu ông ta nghỉ việc mà vợ ông ta bị mất việc thì phải bán xe. Biết rằng nếu vợ ông Minh hay đi làm trễ thì sẽ mất việc và cuối cùng ông Minh đã được tăng lương. Suy ra nếu ông Minh không bán xe thì vợ ông ta không đi làm trễ.
Giả sử ∀[ ∀] là một vị từ theo biến ∀ ∈ ∀. Khi ấy có 3 trường hợp có thể xảy ra: Trường hợp 1: khi thay ∀ bởi một phần tử a tùy ý trong ∀, ta được mệnh đề đúng ∀[ ∀]. Trường hợp 2: với một số giá trị ∀ ∈ ∀ thì ∀[ ∀] thì mệnh đề đúng, một số giá trị ∀ ∈ ∀ thì ∀[ ∀] là mệnh đề sai. Trường hợp 3: khi thay ∀ bởi phần tử tùy ý trong ∀, ta được mệnh đề sai ∀[ ∀]. Nếu trường hợp 1 xảy ra thì mệnh đề “với mọi ∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” là một mệnh đề đúng. Mệnh đề này được ký hiệu bởi ” ∀∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ”. Như thế mệnh đề này sai nếu trường hợp 2 hay trường hợp 3 xảy ra. Mặt khác nếu trường hợp 1 hay trường hợp 2 xảy ra thì mệnh đề “tồn tại ∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” là một mệnh đề đúng. Mệnh đề này được ký hiệu bởi “∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ”. Nếu vậy mệnh đề này sẽ sai nếu trườgn hợp 3 xảy ra. Định nghĩa 1.4: các mệnh đề “∀∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” và “∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” được gọi là lượng từ hóa của vị từ ∀[ ∀] bởi lượng từ phổ dụng [∀] và lượng từ tồn tại [∃]. Chú ý:
- Trong các mệnh đề lượng từ hóa, biến ∀ không còn là tự do nữa. ta nói nó đã bị buộc bởi các lượng từ ∀ hay ∃.
- Theo nhận xét trên, phủ định của mệnh đề “∀∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” là đúng nếu trường hợp 2 hay trường hợp 3 xảy ra. Trường hợp 3 có thể viết lại: khi thay x bởi ∀ ∈ ∀ tùy ý thì ¬ ∀[ ∀] đúng. Như thế nếu trường hợp 2 hay trường hợp 3 xảy ra thì mệnh đề “∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” là mệnh đề đúng. Nói cách khác, phủ định của mệnh đề “∀x ∈ A, p[x]” là mệnh đề “∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ”. Cũng thế phủ định của mệnh đề “∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” là mệnh đề “∀∀ ∈ ∀,∀[ ∀] ” vì cả hai cùng đúng nếu trường hợp 3 xảy ra và cùng sai nếu trường hợp 1 hay trường hợp 2 xảy ra. Bây giờ ta xem một vị từ theo hai biến ∀[ ∀,̀] với ∀ ∈ ∀,̀ ∈ . Khi ấy nếu thay ∀ bằng một phần tử cố định nhưng tùy ý ∀ ∈ ∀ ̀ℎì ∀[ ∀,̀] trở thành vị từ theo biến ̀ ∈ nên ta có thể lượng tử hóa nó theo biến ̀ và được hai mệnh đề “∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ” và “∃̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ”. Bằng cách này ta được hai vị từ theo một biến ∀ ∈ ∀: “∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ” và “∃̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ”. Nếu lượng tử hóa chúng ta sẽ được 4 mệnh đề: ∀∀ ∈ ∀,∀̀ ∈ , ∀[ ∀,̀] ∃∀ ∈ ∀,∀̀ ∈ , ∀[ ∀,̀] ∀∀ ∈ ∀,∃̀ ∈ , ∀[ ∀,̀] ∃∀ ∈ ∀,∃̀ ∈ , ∀[ ∀,̀] Đương nhiên ta có thể lượng từ hóa theo biến x trước rồi theo biến y sau để được 4 mệnh đề nữa. Hãy xét một trong các mệnh đề đó:”∀̀ ∈ ,∀∀ ∈ ∀,∀[ ∀,̀] ”. Giả sử mệnh đề này đúng. Suy ra mệnh đề “∀∀ ∈ ∀,∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ” đúng. Rõ ràng điều ngược lại cũng đúng nên ta có mệnh đề đúng [∀∀ ∈ ∀,∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ] ⟷ [∀̀ ∈ ,∀∀ ∈ ∀,∀[ ∀,̀]] Tương tự mệnh đề sau cũng đúng: [∃∀ ∈ ∀,∃̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ] ⟷[∃̀ ∈ ,∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀,̀] ] Hơn nữa ta có
Định lý 1 .4 : nếu ∀[ ∀,̀] là một vị từ theo 2 biến ∀,̀ thì các mệnh đề sau là đúng i. [∀∀ ∈ ∀,∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ] ⟷ [∀̀ ∈ ,∀∀ ∈ ∀,∀[ ∀,̀] ] và [∃∀ ∈ ∀,∃̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ] ⟷[∃̀ ∈ ,∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀,̀] ] ii. [∃∀ ∈ ∀,∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ] ⟷[∀̀ ∈ ,∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀,̀] ] Chứng m inh: ta chỉ cần chứng minh ii Giả sử ” ∃∀ ∈ ∀,∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ” đúng. Khi ấy sẽ tồn tại ∀ ∈ ∀ sao cho mệnh đề “∀̀ ∈ ,∀[ ∀,̀] ” là đúng, nghĩa là nếu thay ̀ = ∀ ∈ tùy ý thì ∀[ ∀,∀] đúng. Như vậy với ̀ = ∀ ∈ tùy ý ta có thể chọn ∀ = ∀ để khẳng định rằng “∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀,∀] ” là đúng. Do đó “∀̀ ∈ ,∃∀ ∈ ∀,∀[ ∀,̀] ” là một mệnh đề đúng. đpcm Chú ý: mệnh đề đảo của ii không nhất thiết đúng trong trường hợp tổng quát. Thật vậy ta hãy xem một ví dụ Gọi ∀[ ∀,̀] là vị từ theo hai biến thực: “∀ + ̀ = 1 ” Ta nhận xét rằng nếu thay y= b là một số thực tùy ý thì ta có thể chọn ∀= 1 − ∀ để cho x + b = 1 nên mệnh đề “∃∀ ∈ a/c,∀ + ∀ = 1 ” là đúng. Điều này chứng tỏ mệnh đề “∀̀ ∈ a/c,∃∀ ∈ a/c,∀ + ̀ = 1 ” đúng. Ngược lại nếu thay ∀= ∀ tùy ý, ta có thể chọn ̀= −∀ để cho ∀ + ̀ = 0 ≠ 1 nên mệnh đề “∀̀ ∈ a/c,∀ + ̀ = 1 ” là sai. Điều này chứng tỏ mệnh đề “∃∀ ∈ a/c,∀̀ ∈ a/c,∀ + ̀ = 1 ” là sai. Do đó phép kéo theo sau là sai: [ ∀̀ ∈ a/c,∃∀ ∈ a/c,∀ + ̀ = 1] ⟶ [ ∃∀ ∈ a/c,∀̀ ∈ a/c,∀ + ̀ = 1] Các kết quả trên đây có thể được mở rộng dễ dàng cho các vị từ theo nhiều biến tự do. Đặc biệt ta có: Định lý 1.4: trong một mệnh đề lượng từ hóa từ một vị từ theo nhiều biến độc lập nếu ta hoán vị hai lượng từ đứng cạnh nhau thì Mệnh đề mới vẫn còn tương đương logic với mệnh đề cũ nếu hai lượng từ này cùng loại Mệnh đề mới sẽ là một hệ quả logic của mệnh đề cũ nếu hai lượng từ trước khi hoán vị có dạng ∃∀. Ví dụ: một hàm thực liên tục đều trên một khoảng ∀ a/c được định nghĩa bởi mệnh đề: ∀Ḁ> 0,∃Ḁ> 0,∀∀ ∈ ∀,∀∀∈ ∀,[ |∀ − ∀|< Ḁ] ⟶[ |Ḁ[ ∀] − Ḁ[ ∀] |< Ḁ] Theo mệnh đề 1.4 thì mệnh đề trên có hệ quả logic là ∀Ḁ> 0,∀∀ ∈ ∀,∃Ḁ> 0,∀∀∈ ∀,[ |∀ − ∀|< Ḁ] ⟶[ |Ḁ[ ∀] − Ḁ[ ∀] |< Ḁ] hay tương đương ∀∀ ∈ ∀,∀Ḁ> 0,∃Ḁ> 0,∀∀∈ ∀,[ |∀ − ∀|< Ḁ] ⟶[ |Ḁ[ ∀] − Ḁ[ ∀] |< Ḁ] Nói cách khác một hàm liên tục đều trên I thì liên tục. Để lấy phủ định một mệnh đề lượng từ hóa, chú ý 2 của định nghĩa 1.4 có thể được mở rộng thành