Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12:
Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*] Xét chiều biến thiên của hàm số:
+] Tính đạo hàm.
+] Tìm các điểmximà tại đó đạo hàm cóy′=0hoặc đạo hàm không xác định.
+] Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*] Tìm cực trị:y[xi].
*] Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có:
*] Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+] Giao điểm của đồ thị với trục tung:x=0 ⇒ y=....⇒ A[0;.....].
+] Giao điểm của đồ thị với trục hoành:y=0 ⇒ x=.....⇒ B[...;0].
+] Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
a] Hàm số y = -x4+ 8x2– 1.
1] Tập xác định: D = R
2] Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -4x3+ 16x = -4x[x2- 4]
y' = 0 ⇔ -4x[x2- 4] = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2
Trên khoảng [-∞; -2] và [0; 2], y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng [-2; 0] và [2; +∞], y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và x = -2 ; yCĐ = 15
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
3] Đồ thị:
+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:
y[-x] = -[-x]4+ 8[-x]2- 1 = -x4+ 8x2- 1 = y[x]
⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
+ Giao với Oy tại điểm [0; -1] [vì y[0] = -1].
+ Đồ thị hàm số đi qua [-3; -10] và [3; 10].
b] Hàm số y = x4– 2x2+ 2.
1] Tập xác định: D = R
2] Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = 4x3- 4x = 4x[x2- 1]
y' = 0 ⇔ 4x[x2- 1] = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận :
Hàm số đồng biến trên khoảng [-1; 0] và [1; +∞].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng [-∞; -1] và [0; 1].
Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: [-1; 1] và [1; 1].
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: [0; 2]
3] Đồ thị:
+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại [0; 2].
+ Đồ thị hàm số đi qua [-1; 1] và [1; 1].
+ Đồ thị hàm số:
c] Hàm số
1] Tập xác định: D = R
2] Sự biến thiên:
+ y' = 2x3+ 2x = 2x[x2+ 1]
y' = 0 ⇔ 2x[x2+ 1] = 0 ⇔ x = 0
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng [-∞; 0].
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: [0; -3/2].
- Giải Toán 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Giải bài 1,2,3 trang 43 SGK giải tích lớp 12. Bài : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số – Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a] y = 2 + 3x – x3 ; b] y = x3 + 4x2 + 4x ;
c] y = x3 + x2+ 9x ; d] y = –2x3 + 5 ;
Đáp án: a] Tập xác định: R; y’ = 3[1 – x2]; y’ = 0 ⇔ x = ± 1 .
Bảng biếnthiên :
Đồ thị như hình bên.
b] Tập xác định : R ; y’ = 3x2 + 8x + 4; y’ = 0 ⇔ x= -2, x = -2/3 .
Bảng biếnthiên :
Vẽ đồ thị:
c] Tập xác định : R ;
y’ = 3x2 + 2x + 9 > 0, ∀x. Vậy hàm số luôn đồng biến, không có cực trị.
Bảng biếnthiên :
d] Tập xác định : R ;
y’ = -6x2 ≤ 0, ∀x. Vậy hàm số luôn nghịch biến, không có cực trị.
Bảng biến-thiên :
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a] y = -x4 + 8x2 – 1 ; b] y = x4 – 2x2 + 2 ;
c] y= 1/2x4 + x2– 3/2 ; d] y = –2x2 – x4 + 3 .
Đáp án: a] Tập xác định : R ; y’ =-4x3 + 16x = -4x[x2 – 4];
y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±2 .
Bảng biếnthiên :
vẽ đồ thị
b] Tập xác định : R ; y’ =4x3 – 4x = 4x[x2 – 1];
y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±1 .
Bảng biến-thiên :
Đồ thị như hình bên.
c] Tập xác định : R ; y’ =2x3 + 2x = 2x[x2 + 1]; y’ = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biếnthiên :
Đồ thị như hình bên.
d] Tập xác định : R ; y’ = -4x – 4x3 = -4x[1 + x2]; y’ = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên :
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
Tập xác định : R\{1};
Bảng biến thiên :
Đồthị như hình bên.
Giao điểm của đồ thị với trục tung: [0;-3], với trục hoành [-3;0]. Môt số điểm của đồ thị [2;5], [3;3]
b] Tập xác định : R \{2};
Bảng biến thiên :
Đồthị:
c] Tập xác định : R\{-1/2};
Bảng biến thiên :
vẽ đồthị